천편일률적인 절대부등식 증명 교육으로 과연 학생들의 수학적 사고력을 얼마나 키울 수 있을까?
특히 학교에서 가르치는 산술평균과 기하평균의 절대부등식은 두 수의 경우에는 비교적 쉽게 증명하지만, 세 수 이상으로 넘어가면 또 다른 복잡한 증명 방법을 배워야 한다. 두 수에서 배운 원리가 세 수, 네 수에서도 자연스럽게 이어지지 않는다면 과연 그것이 원리를 이해하는 교육인지, 증명 공식을 암기하는 교육인지 되물을 필요가 있다.
헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 이와 관련해 '평균대칭 원리'를 이용한 절대부등식 증명 방법을 제안한다.
핵심은 간단하다. 임의의 수들은 산술평균을 중심으로 대칭적인 차이를 갖는다는 사실이다. 어떤 수가 평균보다 일정한 거리만큼 크다면, 다른 수는 평균보다 그만큼 작게 존재한다. 즉, 평균을 중심으로 덧셈과 뺄셈의 관계가 만들어지는 것이다.
가령 두 수 A와 B가 있다고 하자. 산술평균을 M이라고 하면 두 수는 각각 M+α, M-α로 나타낼 수 있다. 여기서 α는 평균으로부터 떨어진 거리다.
두 수를 곱하면 어떻게 될까?
(M+α)와 (M-α)를 곱하면 M의 제곱에서 α의 제곱을 뺀 값이 된다.
이것이 무엇을 의미하는가?
두 수가 평균에서 멀어질수록 곱은 작아진다는 것이다. 반대로 두 수가 평균을 중심으로 가까워져 서로 같아지면 곱은 가장 커진다. 결국 두 수가 같을 때 산술평균과 기하평균도 같아진다.
복잡한 증명 공식이 필요한가? 평균을 중심으로 두 수가 얼마나 떨어져 있는지만 이해하면 된다.
그렇다면 세 수에서는 어떨까?
세 수에서도 원리는 다르지 않다. 세 수의 산술평균을 M이라고 하자. 첫 번째 수가 평균보다 α만큼 크다면 나머지 두 수가 평균보다 작은 정도를 합하면 α가 되어야 한다. 세 수의 평균이 M이라는 것은 세 수의 편차를 모두 더하면 반드시 0이 된다는 뜻이기 때문이다.
예를 들어 세 수를 M+α, M-β, M-(α-β)로 나타낼 수 있다.
여기서 중요한 것은 세 수의 차이가 제각각인 것처럼 보여도 평균을 중심으로 보면 결국 덧셈과 뺄셈의 관계로 연결된다는 사실이다.
세 수의 경우에도 평균을 중심으로 두 수를 먼저 대칭적으로 묶을 수 있다. 두 수의 곱은 두 수의 평균을 중심으로 한 차이의 제곱만큼 작아진다. 여기에 나머지 한 수와 전체 평균 사이의 차이를 함께 고려하면 세 수의 산술평균이 기하평균보다 작지 않다는 사실을 증명할 수 있다.
네 수 이상에서도 마찬가지다.
산술평균을 중심으로 각 수의 편차를 살펴보면 양의 편차와 음의 편차의 합은 언제나 0이다. 또한 가장 큰 수와 가장 작은 수를 골라 두 수를 그 평균으로 바꾸면 전체 합은 변하지 않으면서 두 수의 곱은 커진다. 이 과정을 반복하면 모든 수가 같은 값으로 수렴하고, 그때 전체 곱이 최대가 된다.
결국 두 수든 세 수든 열 수든 핵심은 하나다. 평균을 중심으로 수들의 차이를 이해하고, 그 차이가 곱에 어떤 영향을 주는지 파악하는 것이다.
강동진 대표는 "수학은 정해진 증명 공식을 외우는 과목이 아니라 수와 수 사이의 관계를 발견하는 학문이어야 한다. 두 수에서 성립하는 원리가 세 수 이상에서도 어떻게 이어지는지 스스로 생각하도록 가르치는 것이 진정한 수학적 사고력 교육"이라고 강조한다.
물론 평균대칭 원리만으로 모든 절대부등식이 자동으로 증명되는 것은 아니다. 그러나 산술평균과 기하평균의 관계를 이해하고 증명하는 데 있어 하나의 일관된 사고 원리를 제공한다는 점에서 교육적 가치가 있다.
우리는 학생들에게 왜 그런지 생각하게 하고 있는가, 아니면 어떻게 증명하라는 공식만 가르치고 있는가?
두 수에서는 이렇게 증명하고, 세 수에서는 저렇게 증명하고, 네 수에서는 또 다른 공식을 외우게 하는 교육에서 벗어날 필요가 있다.
평균을 중심으로 수들의 차이를 바라보는 것. 어쩌면 학생들에게 필요한 것은 새로운 증명 공식이 아니라, 이미 알고 있는 산술평균을 전혀 다른 관점에서 바라보는 수학적 사고일지 모른다.
;)
