불안은 물밀듯이 밀고 들어와 나를 무참히 쓸고 간다. 꺽이고, 부러지고, 휩쓸린 나의 정신은 망연자실, 안정된 집도 사랑도 모든 것을 잃었다. 다행인 것은 더이상 잃을 것 없다고? 부자는 지킬 것이 많아 항상 불안하고, 거지는 잃을 것이 없어 마음이 평안하다는 말도안되는 논리가 사이비 진보들을 통해 퍼지는 세상에서 하 논리란 무엇인가. 권위란 무엇인가 한탄한다. 나의 인생경험에 보면 부자는 매사에 자신감을 보인는데.
지독한 가난과 외로움속에서도 내 정신이 온전하다면, 난 계속해서 혁신의 글을 쓰고 있는데, 지잡대 출신에 내세울게 없어 아무도 인정받지 못하고 있다고 생각한다.
산술 기하 조화평균의 절대부등식도 기존의 교육방식에서 증병하는 방식이 아닌 필자가 제안한 방식으로 증명을 하는 것이 분명 가치가 있는데, 왜 클릭수가 급등하지 않은지 통 모르겠다.
산술 기하 조화평균의 절대 부등식이란 항상 산술평균이 기하평균보다, 기하평균이 조화평균보다 크거나 같다는 것이다. 그리고 변수가 모두 같다면 산술 기하평균, 조화평균이 같다는 것이다.
즉 조화평균이 최대가 되려면 변수가 모두 같을때, 산술평균과 기하평균과 같아지며 최대값이 된느 것을 말하고 산술평균이 최소가 되려면 변수가 같을 때, 기하평균과 조화평균이 같을떄가 되는 것이다.
강동진 평균 대칭 원리로 이해하는 산술평균·기하평균·조화평균의 부등식
산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에는 잘 알려진 절대 부등식이 존재한다.
산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균
그리고 모든 변수가 같을 때만 세 평균은 서로 같아진다.
즉, 조화평균이 최대가 되는 경우는 모든 변수가 같아져 산술평균 및 기하평균과 일치할 때이며, 반대로 산술평균이 최소가 되는 경우도 모든 변수가 같아져 기하평균 및 조화평균과 일치할 때이다.
교과서에서는 두 변수의 경우 완전제곱꼴을 이용하여 증명하고, 세 변수 이상에서는 코시-슈바르츠 부등식이나 젠센 부등식 등을 활용한다. 그러나 이러한 증명은 직관적으로 이해하기 어렵고 계산도 길어질 수 있다.
그래서 필자는 보다 직관적인 설명 방법으로 '강동진 평균 대칭 원리'를 제안하고자 한다.
이 원리의 핵심은 산술평균이 변수들의 중심축 역할을 한다는 점이다.
예를 들어 두 수 x, y의 산술평균을 M이라고 하자.
그러면
x = M + a
y = M - a
라고 나타낼 수 있다.
여기서 a는 각 수와 산술평균 사이의 거리(편차)를 의미한다.
즉, 산술평균을 기준으로 두 수는 항상 좌우 대칭 구조를 이룬다.
이때 기하평균은
제곱근[(M+a)(M-a)]
= 제곱근(M²-a²)
가 된다.
a²는 항상 0 이상이므로
M²-a² ≤ M²
가 성립한다.
따라서
제곱근(M²-a²) ≤ M
가 되며,
기하평균 ≤ 산술평균
임을 알 수 있다.
또한 등호는 a=0, 즉 두 수가 같을 때만 성립한다.
세 수의 경우에도 같은 원리를 적용할 수 있다.
세 수의 산술평균을 M이라 하면,
(M-A)(M+B)(M+C)
와 같은 형태로 표현할 수 있다.
여기서 A, B, C는 각 변수와 산술평균 사이의 편차를 뜻한다.
산술평균의 정의에 의해 편차의 합은 항상 0이므로
-A + B + C = 0
즉
A = B + C
가 된다.
이는 한 변수의 평균으로부터의 거리가 나머지 두 변수의 거리 합과 균형을 이룬다는 의미이다.
위 식을 전개하면
M³ + MBC - MAB - MAC - ABC
가 된다.
그런데 A = B + C를 대입하면
AB + AC = A(B+C) = A²
가 되어
M³ - MA² + MBC - ABC
의 형태가 된다.
여기서 A² ≥ BC 이므로
M³ - MA² + MBC ≤ M³
가 된다.
따라서
(M-A)(M+B)(M+C) ≤ M³
가 성립한다.
양변에 세제곱근을 취하면
세 수의 기하평균 ≤ 산술평균
을 얻는다.
등호는
A = B = C = 0
즉 세 수가 모두 같을 때만 성립한다.
이 논리는 네 수 이상에서도 동일하게 확장할 수 있다.
결국 산술평균은 변수들의 중심축이며, 각 변수들이 중심축에서 멀어질수록 기하평균과 조화평균은 감소한다. 반대로 모든 변수가 산술평균으로 수렴할 때 세 평균은 서로 같아진다.
필자가 제안하는 강동진 평균 대칭 원리는 복잡한 부등식 이론보다 먼저 산술평균의 대칭성과 편차 구조를 직관적으로 이해하도록 돕는 설명 방법이라고 볼 수 있다.
이에대해 챗 GPT는 챗GPT는 기하학적 직관이 매우 강합니다. 산술평균을 "중심값"으로 잡고 좌우 대칭이나 거리 개념으로 접근하는 건 물리학적인 감각도 있어요. 고등학교 수준에서도 충분히 접근 가능한 방식이에요. 복잡한 오목함수나 로그 없이도 부등식의 구조를 느낄 수 있죠라고 평가했었다.
덧붙여 산술평균을 중심으로 한 편차(거리) 관점에서 기존 부등식을 직관적으로 설명하는 접근에 가깝습니다. 특히 "편차의 합이 0"이라는 사실을 이용해 평균을 대칭축으로 해석하는 점은 교육적 설명 가치가 있습니다고 말했다.
;)
