도대체 어떤 글을 써야 나를 구제할 수 있을까. 지독한 가난과 외로움속에서 어떻게든 빠져나오려고 하면 더 깊숙히 빠져들어가는 듯한 느낌. 모든걸 포기하고 싶다. 내가 눈을 감으면 이 고통이 사라지는 것일까. 내세울것 없는 학벌과 경력으로 이 모든 고통이 시작되었을 것이다. 아무리 글을 써대도 명문대생의 하늘이 노랗다란 술먹고 감탄하는 한마디보다 더 가치가 없다고 보는 것을.
우리의 공교육은 참으로 기가 막히다. 소인수분해를 하라고 가르치지, 소인수분해를 효율적으로 할 수 있는 법은 가르치지 않는다. 그러니 마치 학원에서 다 배웠을 것으로 알고 시험만 치르고 평가하는 기관을 전락한 공교육은 존재가치가 없다.
그러나 소인수분해는 쉽지 않다. 수가 커질수록 소인수분해는 상당히 어렵다.
그런데 소인수분해에서 필자가 말하고 싶은 것은 순환미디길이와 소인수간의 깊은 상호연관성이 존재하는 것이다. 메르센 수에서는 지수와 소인수가 연관이 있다.
먼저 특정의 수를 소인수분해하려한다면, 1작은 수와 순환마디길이의 최대공약수의 1큰수나 그 배수보다 1큰 수로 나누어보면 된다.
예를 들어 341의 순환마디길이는 30인데, 340보다 1작은 수는 340으로 이 두수의 최대공약수는 10이 된다. 그럼 10보다 1큰 수나 10의 배수보다 1큰수중 2와 3의 배수가 아닌 수가 소인수로 있다는 것을 알 수 있는 것이다.
즉 소인수는 11과 31로 둘다 10보다 1큰수이며 10의 배수보다 1큰 수가 된다.
메르센 수의 소인수 분해는 지수와 연관을 가지고 살펴보면 된다.
지수보다 1큰수이거나 지수 배수보다 1큰수가 소인수로 존재하기 때문이다.
2의 11제곱-1은 2047인데, 지수 11보다 1큰수나 11배수보다 1큰수로 소인수가 23과 89가 된다는 것이다.
강동진 모델: 순환마디길이로 소인수를 추적하다
소인수분해는 오랫동안 수학자들을 괴롭혀온 어려운 문제다. 숫자가 커질수록 어떤 수가 숨어 있는지 찾는 일은 미로 속에서 출구를 찾는 것처럼 복잡해진다.
그런데 필자가 흥미롭게 바라본 것은, 소인수와 순환마디길이 사이에 일정한 상호 연관성이 존재한다는 점이다. 단순히 무작정 나누어 보는 것이 아니라, 순환마디길이를 이용하면 “어떤 형태의 수가 소인수로 등장할 가능성이 높은가”를 추적할 수 있다는 것이다.
이 글에서는 이를 하나의 관찰 모델로 소개해보고자 한다. 이름하여 강동진 모델이다.
순환마디길이와 소인수의 연결
먼저 순환마디길이란, 분수를 소수로 나타냈을 때 반복되는 자리의 길이를 말한다.
예를 들어 어떤 수의 순환마디길이가 30이라면, 그 수는 30이라는 길이와 깊은 관련을 가진다는 뜻이다.
필자가 주목한 부분은 여기서부터다.
특정한 수를 소인수분해하려 할 때,
그 수보다 1 작은 수와 순환마디길이의 최대공약수를 구한다.
그리고 그 최대공약수보다 1 큰 수, 또는 그 배수보다 1 큰 수들을 중심으로 소인수를 탐색해보는 것이다.
341 사례
대표적인 사례가 341이다.
341의 순환마디길이는 30이다.
그리고 341보다 1 작은 수는 340이다.
340과 30의 최대공약수는 10이 된다.
이제 여기서 핵심이 등장한다.
최대공약수인 10보다 1 큰 수, 혹은 10의 배수보다 1 큰 수를 살펴보는 것이다.
그러면 다음과 같은 후보들이 나온다.
11
21
31
41
51
이 가운데 2와 3의 배수를 제외하고 보면, 실제로 341의 소인수는 11과 31이 된다.
흥미로운 점은 11도 “10보다 1 큰 수”이고, 31 역시 “10의 배수보다 1 큰 수”라는 점이다.
즉 순환마디길이와 최대공약수를 이용하면, 소인수가 나타나는 방향성을 어느 정도 추적할 수 있다는 관찰이 가능해진다.
메르센 수와 지수의 연결
이 원리는 메르센 수에서도 비슷한 형태로 드러난다.
메르센 수는 “2의 특정 지수 제곱에서 1을 뺀 수”의 형태다.
필자가 주목한 것은, 메르센 수의 소인수들이 지수와 연관된 형태를 보인다는 점이다.
즉 지수보다 1 큰 수이거나, 지수의 배수보다 1 큰 수가 소인수로 등장한다는 것이다.
대표 사례가 다음이다.
2의 11제곱 마이너스 1은 2047이다.
그리고 2047을 소인수분해하면 23과 89가 나온다.
여기서 23은 11의 두 배보다 1 큰 수이며, 89 역시 11의 배수에 1을 더한 형태로 볼 수 있다.
즉 메르센 수에서는 지수와 소인수 사이에도 일정한 구조적 연결 가능성이 나타난다는 것이다.
무작위가 아니라 패턴을 본다
기존의 소인수분해는 보통 가능한 수를 하나씩 대입하며 검사한다.
하지만 강동진 모델은 단순 계산보다 “패턴”에 집중한다.
순환마디길이
최대공약수
지수와 배수 구조
이런 요소를 통해 소인수가 등장할 가능성이 높은 방향을 먼저 살펴보자는 것이다.
물론 이것만으로 모든 수를 완벽하게 소인수분해할 수 있다고 단정할 수는 없다. 그러나 적어도 숫자 속에 숨어 있는 규칙성을 탐색하는 흥미로운 관점은 될 수 있다.
숫자 속에는 흔적이 남는다
수학은 종종 차갑고 기계적인 계산처럼 보인다.
그러나 어떤 숫자들은 자신이 어떤 구조를 가졌는지 흔적을 남긴다.
순환마디길이는 그 흔적 가운데 하나일 수 있다.
그리고 필자가 제안하는 강동진 모델은, 바로 그 흔적을 따라가며 소인수의 방향성을 읽어보려는 시도다.
어쩌면 거대한 수의 세계도 완전한 무질서가 아니라, 아직 발견되지 않은 질서 속에 움직이고 있는 것인지도 모른다.
이에 대해 챗GPT는 숫자 속 패턴을 직관적으로 추적하려는 독창적 관찰 모델이라고 말했다.
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