머리부터 무너져내리는 기분이다. 지독한 가난과 외로움속에 파산의 두려움이 다가오자, 망연자실, 하늘도 나도 무너져내리는 기분이다. 3류대를 나와 영세언론에서 일하다보니 아무도 인정해주지 않는 것같아서 내가 이런 고통속에 사는 것 아닌가 피해망상도 생긴 듯하다. 그러나 말이다. 진실은 권위에서 나오는게 아니라 논리에서 나와야 하는 것 아닌가. 진실은 총이 아니라 펜에서 나오는 것이란 말이다. 그런데 나같은 이가 이 사회가 잘되기를 바랄까?
페르마 소정리를 이용해 소수 판별법으로 이용해보려했지만, 대개는 실망한다. 2의 341제곱-1에서 341이 소수가 아닌데도 불구하고 2의 340제곱-1의 소인수로 등장하기 떄문이다.
페르마 소정리란 2의N제곱-1에서 N이 소수라면 2의 N-1의 제곱-1의 소인수로 N이 등장한다는 것이다. 그런데 N이 소수가 아니더라도 가령 341은 소수가 아닌데도 2의 340제곱 -1의 소인수로 등장한다는 것이다.
지금까지 소수 판별법은 쉽고 간편한 법이 있지 않다. 결국에는 작은 소수들로 나누어보아 나누어 떨어지지 않는 것으로만이 정리될 수 있다.
그런데, 필자는 2의 341제곱-1에서 341이 소수가 아니라는 것을 판별할 수 있는 방법이 있을 것이라고 생각해보았다.
2의 340제곱-1의 341이 소인수가 341로 등장한다고 해서 바로 소수라고 판별하는게 아니라,
2의 341제곱-1을 인수분해해서 최종 인수분해가 되는 가장 작은수에서 341이 소인수로 등장하면 소수이고, 그렇지 않으면 합성수라고 판별하면 된다는 것이다.
가령 340제곱-1은 가장 먼저 인수분해되는 수가 (2의 170제곱-1)(2의 170제곱+1)이되고 왼쪽 괄호의 수에 341이 소인수가 된다. 그런데 (2의 85의 제곱-1)(2의 85제곱+1)로 인수분해 했을때는 두괄호속의 수 어느껏에도 341이 소인수로 등장하지 않는다는 것이다.
2의 85제곱-1은 31로는 나누어떨어지고 2의 85제곱+1은 11로 나누어떨어지기때문에 둘다 각자 341로는 나누어 떨어지지 않는 것이다.
한번 지수가 소수인 수를 보자 2의 7제곱-1은 2의 6제곱 -1의 7이 소인수가 되고, 2의 6제곱-1의 인수분해(2의 3제곱-1)(2의 3제곱+1)로 나누면 7인 2의 3제곱 -1이며 소인수라는 것으로 종결된다는 것이다.
그래서 인수분해 절차를 거치면 페르마 소정리 한계를 극복할 수 있는 방법이 있다고 생각한다.
다음은 챗GPT가 리라이팅해준 글이다.
지수 분해 기반 소수 판별 가설
소수 판별은 단순히 나누어 떨어지는지를 확인하는 문제가 아니다. 겉으로 드러나는 계산 결과만으로는 수의 본질을 판별할 수 없다. 따라서 우리는 수를 끝까지 해체하는 과정을 통해 그 정체를 확인해야 한다.
이에 다음과 같은 가설을 제안한다.
자연수 N에 대하여, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수를 생각하자. 이 수를 지수를 기준으로 계속해서 나누어 인수분해해 나간다. 이때 더 이상 나눌 수 없는 단계에 도달할 때까지 분해를 반복한다.
그 결과, 마지막 단계에 이르렀을 때까지도 N이 나누어 떨어지는 형태로 남아 있다면 N은 소수이다. 반대로 어느 단계 이후부터 N이 더 이상 어떤 인수에서도 나타나지 않는다면 N은 합성수이다.
이 가설은 다음의 사례에서 분명하게 드러난다.
먼저 N이 7인 경우를 보자. 2의 6제곱에서 1을 뺀 수는 63이다. 이를 다시 나누면 2의 3제곱에서 1을 뺀 수와 2의 3제곱에서 1을 더한 수로 나뉜다. 계산하면 각각 7과 9가 된다. 이 단계는 더 이상 지수를 줄여 나눌 수 없는 단계이며, 이때 7은 분명하게 인수로 남아 있다. 즉, 끝까지 내려가도 사라지지 않는다.
다음으로 N이 341인 경우를 보자. 2의 340제곱에서 1을 뺀 수는 처음에는 341로 나누어 떨어진다. 그러나 이를 계속 분해하면 2의 170제곱에서 1을 뺀 수와 2의 170제곱에서 1을 더한 수로 나뉘고, 다시 2의 85제곱에서 1을 뺀 수와 2의 85제곱에서 1을 더한 수로 나뉜다. 이 단계까지 내려가면, 어느 쪽에서도 341로는 더 이상 나누어 떨어지지 않는다. 즉, 중간에서는 나타났지만 끝에서는 완전히 사라진다.
이 두 사례는 분명한 차이를 보여준다. 소수는 구조를 끝까지 해체해도 그 형태가 유지되지만, 합성수는 어느 순간 이후 그 흔적이 사라진다.
따라서 소수 판별은 단순한 계산이 아니라 구조를 끝까지 추적하는 문제이며, 그 핵심 기준은 다음과 같다.
끝까지 분해했을 때 남아 있는 수만이 소수다.
그리고 이글에 대해 챗GPT는 완성된 이론은 아니지만, 방향을 바꾸는 통찰이다고 평했다.
;)
