영세 언론사를 다닐때, 상사의 말도 안되는 갑질에 온몸이 떨리고 정신이 혼미한 적이 있다. 그러나 근 순간 이 순간을 더 큰 세상에서 모두 지켜보고 있다는 느낌을 받았다. 마음이 안정되고, 그 수모를 감당하더라도 더 큰 세상에서 나를 인정하니 괜찮다고 생각했다. 종교지도자들은 굳이 인정받지 않더라도 하느님께 인정받았으니 괜찮다고 말한다. 그와 마찬가지 이치다. 그러나 나는 인정받지 못해 가난과 외로움속에서 살고 있다. 혹시나 더 큰 세상에서 나를 인정해주지 않을까 하며 이글을 쓰고 있는 것이다.
소수를 판별하는 것이야말로 매우 여러 분야에서 적용할 수 있다. 그러나 가장 확실한 소수 판별법은 소인수 분해외에 적당히 쓰거나 적용하기가 어려운점이 한계다. 필자는 앞서서 썼지만, 페르마 소정리의 한계를 수정하면, 보다 와벽한 소수 판별법을 만들 수 있다고 제안한다.
그런데 그 글을 썼을때 챗GPT는 완전한 모델이 아니라고 지적한다. 그래서 챗 혰도 가설이라고 부른다. 먼저 챗GPT가 리라이팅해준 글을 보자.
페르마 소정리는 그 대표적인 출발점이다. 어떤 수 N이 소수라면, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수는 반드시 N으로 나누어진다. 간단하고 강력하다. 하지만 동시에 위험하다. 왜냐하면 이 조건을 만족하는 합성수도 존재하기 때문이다. 341은 그 대표적인 사례다.
문제는 “나누어 떨어진다”는 결과 자체가 아니다. 진짜 문제는 그 관계가 어디까지 유지되느냐다.
2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수는 반복적으로 인수분해가 가능하다. 지수를 줄여가며 구조를 쪼개면, 하나의 사실이 드러난다. 소수라면 이 구조 속에서 나눗셈 성질이 완전히 사라지지 않는다. 반드시 한 갈래에서는 끝까지 유지된다. 반면 합성수는 어느 순간 모든 갈래에서 동시에 무너진다. 내부를 이루는 소인수들이 서로 다른 방향으로 흩어지기 때문이다.
이 관점을 나는 ‘강동진 가설’이라 부르고자 한다.
“어떤 수 N에 대해, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 값이 N으로 나누어지면서, 그 값을 구조적으로 분해해 내려갈 때 나눗셈 성질이 적어도 한 갈래에서 끝까지 유지된다면 N은 소수일 가능성이 높다. 반대로, 어느 단계에서 모든 갈래에서 그 성질이 사라진다면 N은 합성수다.”
이 가설은 페르마 소정리를 부정하는 것이 아니라, 그 위에 구조 조건을 덧붙이는 시도다. 결과가 아니라 “지속성”을 본다는 점에서 의미가 있다. 물론 이 방법이 완전한 판별법이라고 단정할 수는 없다. 여전히 검증과 반례 탐색이 필요하다.
그런데 이 “구조적 지속성”이라는 관점은 메르센 수에서도 흥미로운 형태로 반복된다.
메르센 수, 즉 2의 N제곱에서 1을 뺀 수를 생각해보자. 이 수가 소수가 되려면 N은 반드시 소수여야 한다. 하지만 N이 소수라고 해서 항상 메르센 수가 소수인 것은 아니다. 2의 11제곱에서 1을 뺀 2047이 그 대표적인 반례다.
여기서 등장하는 것이 바로 ‘순환마디길이’라는 개념이다.
어떤 수 M에 대해, 2의 거듭제곱을 계속 계산했을 때 처음으로 1로 돌아오는 최소의 지수를 생각할 수 있다. 이것이 순환마디길이다. 이 값은 단순한 반복 주기가 아니라, 그 수의 구조를 드러내는 핵심 지표다.
이제 중요한 관찰이 나온다.
메르센 수 M이 소수라면, 이 순환마디길이는 반드시 M보다 1 작은 수의 약수로 깔끔하게 들어맞는다. 즉, 전체 구조가 하나의 질서 안에서 정렬된다.
반대로 합성수의 경우, 이 정렬이 깨진다.
예를 들어 2047을 보면, 2의 거듭제곱이 1로 돌아오는 주기는 2046의 약수 구조와 완전히 일치하지 않는다. 이 어긋남은 단순한 계산상의 우연이 아니라, 내부가 여러 소수로 분해되어 있다는 신호다. 다시 말해, 순환마디길이가 전체 구조를 온전히 설명하지 못하는 순간, 그 수는 이미 하나의 덩어리가 아니라는 뜻이다.
이 점에서 순환마디길이는 하나의 보조 판별 기준으로 작동할 수 있다.
“메르센 수 M에 대해, 2의 거듭제곱 순환마디길이가 M-1의 약수 구조와 일관되게 맞아떨어지지 않는다면, M은 합성수다.”
이 기준은 단독으로 완전한 판별법이라기보다는, 구조적 불일치를 빠르게 감지하는 도구에 가깝다. 그러나 중요한 것은, 이 역시 앞서 제시한 ‘강동진 가설’과 동일한 철학 위에 서 있다는 점이다.
그러나 나는 이렇게 생각하지 않는다.
어떤 2의 N제곱-1이 N이 합성수라면 N의 약수를 지수로하는 2의 약수제곱-1로 모두 인순분해된다는 점에 주목할 필요가 있다.
즉 2의 약수제곱-1로 인수분해된다면, N은 분해되어, 2의 약수제곱-2의 소인수가 되지 않는것이다. 페르마 정리에 따르면 2의 약수제곱-1에서 약수가 소수라면 2의 약수제곱-2의 소인수가 된다는 것이라는 것을 염두에 두고 이해하면 된다.
그러다보니, 모든 2의 N제곱-1이 N이 약수이면, 2의 N제곱-2의 소인수가 될 수없지만, 유사소수인 341같은 경우는 처음 인수분해했을때, 2의 340제곱-1에서 341이 나올 수 있지만, 더 추가로 인수분해했을때 2의 170제곱-1에서는 소인수로 등장하지 않는 것이다.
물론 결국 그러다보니 N의 소인수분해와 무슨 차이가 있는지 오해를 할 수 있다. 그러나 N이 의사 소수라면 N보다 1작은 수를 인수부해하기는 더 쉽다. 그리고 그리고 나는 선언한다. 이를 소수판별법 강동진 모델이라고.
다음은 챗GPT가 다시 리라이팅 한 글이다.
명제 (강동진 모델) :
어떤 자연수 N에 대하여
2의 N-1제곱에서 1을 뺀 값이 N으로 나누어지더라도,
그 값을 지수의 약수 구조에 따라 반복적으로 인수분해해 내려갈 때
어느 단계에서든 N이 더 이상 어떤 인수에도 등장하지 않는다면,
N은 반드시 합성수이다.
본문
소수 판별은 오래된 문제지만, 아직도 많은 사람들이 페르마 소정리 하나에 기대고 있다.
그러나 현실은 단순하다. 그 방법은 불완전하다.
2의 N-1제곱에서 1을 뺀 값이 N으로 나누어진다고 해서,
그 수가 소수라는 보장은 어디에도 없다.
341 같은 수가 이미 그 허점을 드러냈다.
문제는 “나누어 떨어지느냐”가 아니다.
진짜 문제는 그 성질이 끝까지 살아남느냐다.
341을 보자.
2의 340제곱에서 1을 뺀 값에서는 분명히 341이 등장한다.
하지만 이를 2의 170제곱에서 1을 뺀 값으로, 다시 그 아래 단계로 계속 쪼개 내려가면
어느 순간 341은 더 이상 어디에서도 나타나지 않는다.
처음에는 소수처럼 보이지만, 구조를 따라 내려가면 끝내 무너진다.
겉모습만 소수일 뿐, 내부는 버티지 못한다.
그렇다면 더 강한 반례로 알려진 카마이클 수는 어떨까.
561을 보자.
2의 560제곱에서 1을 뺀 값에서는 역시 561이 등장한다.
여기까지만 보면 완벽하게 소수처럼 행동한다.
그러나 이것도 착각이다.
2의 280제곱에서 1을 뺀 값,
2의 140제곱에서 1을 뺀 값,
2의 70제곱에서 1을 뺀 값까지는 유지되는 것처럼 보이지만,
2의 35제곱에서 1을 뺀 값을
2의 5제곱에서 1을 뺀 값과 그 나머지 구조로 인수분해하는 순간,
561은 완전히 사라진다.
더 이상 어떤 인수에도 등장하지 않는다.
이건 우연이 아니다.
합성수는 아무리 위장해도, 구조를 끝까지 따라가면 반드시 정체를 드러낸다.
결국 차이는 하나다.
소수는 끝까지 버틴다.
합성수는 끝까지 못 버틴다.
이 단순한 사실을 보지 못하고
처음 나눠떨어진다는 이유만으로 소수라고 믿는 것은,
껍데기만 보고 본질을 놓치는 것과 다를 바 없다.
나는 이 기준을 강동진 모델이라 부른다.
이건 페르마 소정리를 부정하는 게 아니다.
그 허점을 끝까지 밀어붙여, 결국 무너지는 지점을 찾아내는 방식이다.
판별은 한 번이 아니라,
무너질 때까지 계속해야 한다.
다음은 칼럼식의 글이 아니라, 논문 글처럼 챗GPT가 리라이팅 한 글이다.
제목
지수 분해 사슬에서의 지속성에 기반한 페르마형 소수 판별 조건
서론
소수 판별은 수론뿐 아니라 다양한 응용 분야에서 중요한 문제다. 전통적으로 페르마 소정리는 간단하면서도 강력한 판별 기준으로 사용되어 왔다. 그러나 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 값이 N으로 나누어진다고 해서 N이 반드시 소수인 것은 아니다. 341과 같은 유사소수와 561과 같은 카마이클 수가 그 대표적인 반례다.
기존 방법은 대부분 단일 단계에서의 나눗셈 성질에 의존한다. 그러나 이러한 접근은 합성수가 소수처럼 보이는 경우를 완전히 배제하지 못한다. 이에 본 글에서는 단일 결과가 아니라, 지수의 약수 구조를 따라 내려가는 과정에서 성질이 유지되는지를 추적하는 새로운 관점을 제시한다.
기본 정의
정의 1 (지수 분해 사슬)
자연수 N에 대하여 N-1의 약수 구조를 따라 다음과 같은 수열을 정의한다.
초기값 e0 = N-1로 두고, 각 단계에서 ek의 비자명한 약수 d를 선택하여 ek+1 = ek / d로 정의한다.
각 단계마다 Ak = 2의 ek제곱에서 1을 뺀 값을 대응시킨다.
정의 2 (지속성)
자연수 N이 지속성을 가진다고 함은, 모든 단계 k에 대하여 N이 2의 ek제곱에서 1을 뺀 값을 나누는 경우를 의미한다.
정의 3 (소멸 단계)
어떤 단계 k에서 N이 더 이상 2의 ek제곱에서 1을 뺀 값을 나누지 못할 때, 그 최소의 k를 소멸 단계라 한다.
기본 성질
보조정리 1
a가 b를 나누면, 2의 a제곱에서 1을 뺀 값은 2의 b제곱에서 1을 뺀 값을 나눈다.
따라서 지수의 분해는 항상 대응되는 인수 구조를 생성한다.
보조정리 2
합성수 N은 서로 다른 소인수들의 구조를 가지며, 각 소인수는 서로 다른 반복 주기를 가질 수 있다.
따라서 지수 분해를 따라 내려가는 과정에서 특정 단계에서는 나눗셈 성질이 유지되지 않을 가능성이 존재한다.
강동진 명제
모든 합성수 N에 대하여, 지수 분해 사슬을 따라 내려가면 유한한 단계 내에 반드시 소멸 단계가 존재한다.
즉, 어떤 단계 k에서는 N이 2의 ek제곱에서 1을 뺀 값을 더 이상 나누지 못한다.
사례 분석
(1) 341의 경우
341은 2의 340제곱에서 1을 뺀 값을 나눈다. 그러나 이를 2의 170제곱에서 1을 뺀 값 등으로 분해해 내려가면 더 이상 나누지 못하는 단계가 발생한다.
이는 비교적 빠른 단계에서 소멸이 일어나는 경우다.
(2) 561의 경우
561은 카마이클 수로서 2의 560제곱에서 1을 뺀 값을 나눈다. 또한 2의 280제곱, 2의 140제곱, 2의 70제곱 단계에서도 나눗셈 성질이 유지된다.
그러나 2의 35제곱에서 1을 뺀 값을 인수분해하면 2의 5제곱에서 1을 뺀 값과 다른 인수로 나뉘며, 이 단계에서는 더 이상 561이 어떤 인수에도 등장하지 않는다.
즉, 일정 깊이 이후에는 완전히 소멸한다.
알고리즘
입력: 자연수 N
e를 N-1로 둔다
e가 1보다 클 동안 반복한다
(1) 만약 2의 e제곱에서 1을 뺀 값을 N이 나누지 못하면, N은 합성수로 판정한다
(2) e를 e의 약수로 나눈다
모든 단계에서 유지되면 N은 소수일 가능성이 있다
기존 방법과의 비교
기존 페르마 검사는 한 번의 나눗셈으로 판별을 시도한다.
밀러-라빈 검사는 반복적인 구조를 사용하지만 확률적이다.
본 방법은 지수의 약수 구조를 따라 내려가면서 나눗셈 성질의 지속 여부를 추적한다는 점에서 차별성을 가진다.
한계 및 과제
첫째, 모든 합성수에 대해 반드시 소멸 단계가 존재함을 증명해야 한다.
둘째, 카마이클 수와 같은 특수한 경우에 대한 일반적 분석이 필요하다.
셋째, 효율적인 지수 분해 전략을 정립해야 한다.
결론
본 글은 페르마 소정리를 단순한 결과가 아니라 과정으로 확장하여 해석하는 새로운 관점을 제시한다.
핵심은 나눗셈 여부가 아니라, 그 성질이 지수 구조를 따라 얼마나 지속되는가에 있다.
합성수는 겉으로는 소수처럼 보일 수 있으나, 구조를 따라 내려가면 반드시 그 성질이 붕괴된다.
이 관점은 소수 판별에 대한 새로운 접근 가능성을 제시한다.
 챗GPT도 몰랐던 페르마 소정리 수정보완, 챗GPT, 그러나 논문 초안단계라고 혹평','https://www.h-money.co.kr/news_view.jsp?ncd=57791','https://www.h-money.co.kr/news/upload/1777088677301_c.png','영세 언론사를 다닐때, 상사의 말도 안되는 갑질에 온몸이 떨리고 정신이 혼미한 적이 있다. 그러나 근 순간 이 순간을 더 큰 세상에서 모두 지켜보고 있다는 느낌을 받았다. 마음이 안정되고, 그 수모를 감…');)
