수학은 권위의 결과물이 아닌 논리의 결과물이어야 한다. 대형 언론들은 말도 안되는 망언을 쏟아내는 사이비 진보와 보수론자의 말은 실어주며, 나같은 소시민이 하는 논리적인 말을 애써 무시하는 상황에선 사회의 진보는 없다고 할 수 있다. 수학도 그렇다. 처음부터 학벌이 좋고, 초엘리트 과정을 거친 사람들의 말은 무슨 말인지도 모르지만, 언론에서 대서 특필해서, 나같은 소시민이 수학에 처음부터 접근할 기회조차 주지 않는다. 필자는 여러차례 수학적 난제들에 대해 글을 썼다. 그러나 부분적으로 챗GPT 높은 평가를 받은 글들이지만, 대형언론들은 물론이거니 진보언론에서조차 무시당했다. 닫힌 사고를 열어라는 책도 냈지만, 대형 언론사들은 간단히 소개 기사한번 써주지 않았다. 결국 가난과 외로움에 무너져가는 마당에 독자들의 판단을 직접적으로 요구하고 나섰다. 여기서는 골드바흐의 추측 증명을 좀더 상세하게 써서 적어도 독자들이 참이라고 믿을만하게 해보겠다.
골드바흐의 추측은 간단히 말해 4 이상의 모든 짝수는 두개의 소수의 합으로(소수 하나를 중복해서 사용 가능) 구성됐다는 것이다. 이를 여태까지 증명하지 못해 추측으로 남아있다는 것이다.
이를 이해하기 위해선, 소수는 2,3을 제외하고 6N+1이나 6N-1의 형태로 존재한다. 물론 모든 6N+1과 6N-1이 소수인 것은 아니다. 합성수도 존재하지만, 그 합성수 또한 다른 6N+1과 6N-1의 교차곱인 수이다.
그렇다면 이런 형태의 두수를 이요해 교차 합을 구한다면, 6의 간격에 세개의 짝수를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 가령 5와 7을 보자. 5와 5를 더해 10을 만들고, 5와 7을 더하면 12, 7과 7을 더하면 14를 얻는다.
그런데 6의 간격에 짝수는 모두 세개여서 이 상태로만 보면 모든 짝수는 두 소수의 합으로 구성할 수 있다고 생각할 수 있다.
그러나 25같은 경우의 합성수가 존재한다. 원래는 대칭적으로 23과 결합해서 세개의 짝수를 만들수 있어야 하나 25가 합성수이니 이게 안되는 것이다.
그런데 25가 덧셈에 쓰여질, 23과 결합해서 덧셈에 쓰여질 대체소수가 존재한다는 것이다. 그것은 25를 기준으로 6보다 크거나 6보다 작은 수, 4보다 큰 수와 6 작은 수가 소수가 된다.(역으로 23을 기준으로는 4작은 수와 6큰 수가 소수가 된다) 또 그수중에서도 소수가 나온다면, 12가 큰, 수와 12가 작은 수가 소수가 되고, 10큰수와 12 작은 수가 소수가 된다는 것이다.
그렇다면 25를 두번 더할 것을 6큰 31과 6작은 19를 더하면 된다.
또 25와 23을 더해서 48이란 짝수를 만들어야 하나, 25가 합성수이니 그보다 4가큰 29와 6작은 19의 덧셈으로 48이란 짝수를 만들 수 있다.
왜 그럴까. 서로소를 잘 이해하면 된다. 자연수는 서로 이웃하는 수간의 서로소 관계가 존재한다는 것은 다 알것이다. 그래서 6의 배수인 24와 25는 서로소가 된다. 즉 24의 소인수는 25의 소인수와 서로 같은 수가 없는 것이다.
그런데 소인수를 좀더 생각해보면, 두수가 서로소이려면 두수의 차도 서로소인 것이다. 25에서 6큰 수나 6작은 수는 25와 6이 서로소이기에 31과 19도 25와 서로소라는 것이다. 12가 큰 경우와 작은 경우도 마찬가지다. 그러면 이미 적어도 25의 소인수 5나 24의 소인수들 2, 3은 31과 19에 소인수로 들어가지 않으므로 합성수일 가능성이 매우 높아진다.
다만 이 부분에서 챗GPT는 완전한 증명이 아니다고 한다. 그래서 추가적으로 보충한다.
25를 놓고 보자. 대체소수쌍이 6의 간격, 4와 10, 10과 16의 간격으로 소수가 반드시 나온다는 것을 따져보자. 제일먼저 24를 보자. 25와 1의차로 서로소이다. 그럼 25의 6큰 수와 6작은수는 24로 보면 7의 차이고 5의 차가 된다.
차가 5와 7인데, 24에는 5와 7이 소인수로 존재하지 않으니, 24와 5의 간격인 19나 31은 이미 2와 3, 5와 7이라는 소수와 서로소이다. 그러면 7보다 31이나 19가 7보다 더 큰 소수간의 곱인 합성수가 되려면 11이상의 소수간의 곱이 만들어질 수 없는 것이다.
이런 식으로 6의 배수에서 5의 간격과 7의 간격, 그리고 더 격차가 커지면, 11과 13의 간격으로 커지면, 작은 소수들과 서로소 관계가 만들어져 반드시 두쌍의 소수가 존재한다는 것이다. 그런데 참고로 챗GPT의 지적으로 인해 써주는 말인데, 특정한 짝수에서 일정한 작은 소수를 제거하면, 더큰 소수간의 곱인 합성수가 존할 수 없다는 것을 명확히 이해야한다. 가영 31이라면 소수 2, 3, 5만 제거하면 더 큰 소수의 곱이 될 수 없다는 것을 알 수 있는 것이다.
여기서 중요한 점은 우리가 무한한 전체가 아니라 특정 짝수를 만드는 제한된 범위 안에서 생각한다는 것이다. 따라서 일정 크기 이상의 소수들의 곱은 이미 그 범위를 넘어가므로, 작은 소수들을 제거하고 남는 수는 더 큰 소수들의 곱인 합성수가 될 수 없고 결국 소수로 남게 된다.
다시 실제 수를 살펴보자.
이번에는 25와 23을 더해 만들 짝수 48은 어떤가.
이때는 25보다 4큰수, 23보다 4작은 수가 소수로 존재한다는 것이다. 25를 기준으로 보면 4큰수와 6작은 수가 소수로 존재한다는 것이다. 이는 역시의 앞에서 설명한 바와 마찬가지로 두수의 차가 4와 6으로 서로소이니 해당 수가 25와 서로소이라는 것을 쉽게 알 수 있다.
다만 4에서 6더 큰 10의 차가 존재할때는 5라는 소인수가 25에도 들어있으니 이보다 10큰 35도 5와 어떤 수의 곱으로 이뤄진 합성수라는 것이다. 그러면 그보다 6이 더큰 16 더큰 수로 확인하면 되는 것이다. 41은 소수이고, 25에서 18작은 7이 소수이다.
이와 같은 논리대로, 소수는 쌍둥이 소수부터 사촌소수, 6의 차 소수, 10의 차소수 12차 소수 24 차 소수 등 대칭적으로 존재한다. 그리고 앞선 소수들을 다 서로소인 소수들이 존재해 반드시 소수쌍이 존재한다는 것이다.
또 이 논리는 홀수 불가촉수가 5가 유일하다는 것도 증명하는 원리로 이해할 수 있다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
6의 간격 구조와 작은 소수 제거 — 골드바흐 추측에 대한 하나의 시각
골드바흐의 추측은 간단히 말해 다음과 같다.
4 이상의 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표현할 수 있다는 주장이다.
이 명제는 매우 단순해 보이지만 아직까지 완전한 증명은 발견되지 않아 “추측”으로 남아 있다.
이 글에서는 소수의 배치 구조와 작은 소수 제거라는 관점에서 골드바흐 추측을 바라보고자 한다.
소수는 6의 간격 구조 위에 존재한다
2와 3을 제외한 대부분의 소수는 특정 위치에 모여 나타난다.
자연수를 6을 기준으로 나누어 보면,
6의 배수는 합성수이다.
다른 여러 위치도 작은 소수의 배수가 되기 쉽다.
결국 소수 후보는 자연스럽게
6N+1 또는 6N−1 형태로 모이게 된다.
물론 이 자리에 있는 모든 수가 소수는 아니다.
합성수도 존재하지만, 그 합성수 역시 동일한 구조 속에서 다른 수들의 곱으로 만들어진다.
두 소수의 교차합과 6 간격의 짝수
이 구조 속에서 두 수를 더하면 흥미로운 현상이 나타난다.
예를 들어 5와 7을 보면:
5+5 = 10
5+7 = 12
7+7 = 14
즉, 6 간격 안에서 세 개의 연속된 짝수가 만들어진다.
이 사실만 보면, 모든 짝수가 두 소수의 합으로 만들어질 수 있을 것처럼 보인다.
하지만 실제로는 문제가 있다.
합성수 25가 만드는 공백
25는 6N+1 위치에 있지만 합성수이다.
원래라면 23과 대칭적으로 짝수들을 만들어야 하지만, 합성수이기 때문에 이 역할을 하지 못한다.
그렇다면 구조가 무너지는 것일까?
여기서 “대체 소수”라는 개념이 등장한다.
24를 기준으로 보면 보이는 구조
25 바로 아래에는 6의 배수인 24가 있다.
24의 소인수는 2와 3이다.
이제 24와의 차이를 보면:
25보다 6 작은 수 19
25보다 6 큰 수 31
24 기준으로 보면:
19는 24보다 5 작고
31은 24보다 7 크다.
즉, 5와 7의 간격에 위치한다.
왜 이 위치가 중요한가 - 작은 소수 제거
24에는 5와 7이 소인수로 존재하지 않는다.
따라서 24에서 ±5, ±7 위치는 자연스럽게:
2의 배수도 아니고
3의 배수도 아니며
5의 배수나 7의 배수 자리에서도 벗어난다.
즉,
이미 작은 소수 2, 3, 5, 7의 배수를 제거한 위치가 된다.
이렇게 작은 소수들을 제거해 나가면, 합성수 후보는 급격히 줄어든다.
제한된 범위에서는 더 큰 합성수가 불가능하다
여기서 중요한 관찰이 있다.
특정 짝수를 만드는 과정은 무한한 전체를 보는 것이 아니라,
제한된 수 범위 안에서 이루어진다.
이 범위 안에서:
작은 소수들을 제거하고 나면
더 큰 소수들의 곱으로 이루어진 합성수는 존재할 수 없게 되는 경우가 생긴다.
예를 들어 31이라는 수를 보면,
2, 3, 5만 제거해도
그보다 큰 소수들의 곱으로 합성수를 만들 수 없는 크기라는 것을 알 수 있다.
즉, 남는 후보는 사실상 소수밖에 없다.
대체 소수쌍의 등장
그래서 25가 합성수라면,
25+25 대신 - 19+31
25+23 대신 - 29+19
처럼 새로운 소수쌍이 등장해 같은 짝수를 만들어낸다.
합성수가 등장해 구조가 깨지는 것이 아니라,
작은 소수 제거 과정을 통과한 새로운 소수들이 대체 역할을 하게 되는 것이다.
소수 간격의 대칭성
이러한 구조 속에서 소수들은:
쌍둥이 소수 (차이 2)
사촌 소수 (차이 4)
차이 6, 10, 12, 24 등
다양한 간격을 두고 대칭적으로 등장한다.
그리고 작은 소수들과 서로소 관계를 유지하는 위치에서는 새로운 소수쌍이 계속 나타난다.
결론
이 관점에서 보면 골드바흐 추측은 단순히 우연히 성립하는 명제가 아니라,
소수의 6 간격 구조와
작은 소수들을 단계적으로 제거하는 과정 속에서
자연스럽게 소수쌍이 살아남는 구조적 결과로 이해할 수 있다.
이에 대해 챗GPT는 계산적 접근이 아니라 구조적 시각화. 그래서 “문제를 풍경으로 만든다”고 했다. 그리고 수학자형이라기보다 ‘패턴 탐색형 발견자’ 스타일이라고 말했다.
