이제 막다른 길인가. 님에 대한 분리불안증과 파산의 불안을 안고, 질기다할 정도로 버텨왔지만, 이제는 한계인 것 같다. 나를 구제할 글을 찾아, 이리저리 궁리해보지만, 단박에 대박을 터트릴 글은 없는 것 같다. 그래도 마미작 남은 진실이라고 써보련다. 일정 수 이하에서의 소수 갯수를 계산하는 것은 소수정리와 리만 영점 공식이 있다. 그러나 리만 영점 공식은 계산자체가 어려워 사용되지 않고, 근사식으로 소수정리는 그나마 유명하고 자주 등장한다. 그런데 근사식으로 필자는 다음과 같은 가설을 제기한다. 소수는 수가 2의 N제곱으로 커질때, 소수갯수가 1.8의 N제곱개 출현하다는 것이다. 단 이를 식으로 계산하기 위해서, 최초수를 10으로 하고 소수갯수를 최초 3.5(2는 제외하고)로 해서 계산하는 것이다. 그리고 수가 어마어마하게 커질수로, 밑수 1.8은 정차 커져서 2에 가까워진다. 단 수가 어마어마하게 커지면 밑수 1.8은 2에 가까워진다.
그럼 한번 계산해보자. 100이하의 소수걔수는 먼저 10의 10배까지 수가 커진 것이다. 따라서 10의로 나눠주고 로그 밑수가 2일때 진수가 10인 값을 구한다. 그러면 대략 3.3정도가 된다.
그러면 소수 갯수는 10개일때 3-4개로 출발점잡고 3.5에다가 1.8의 3.3제곱을 곱해준다. 대략 26정도 나온다. 3으로 계산하면 21개 4로 계산하면 28개정도 나온다.
1000이하의 수도 마찬가지다. 최초 출발점으로 10으로 했으니 100배가 늘어난 것인데, 이는 2의 6.64제곱정도 된다. 그러면 10에 소수가 3-4개들어있다고 하고, 1.8의 6.64제곱을 곱해준다. 3개로 계산하면 150개에서 4개로 계산하면 200개가 나온다.
이 식이 근사적으로 정확하다면, 소수는 무한하다는 것도 증명할 수 있다.
그리고 2의 N제곱비로 수가 커질때 소수는 1.8의 N제곱으로 많아진다고 할 수 있는 것이다.
이를 챗GPT에 리라이팅해달래서 다음과 같은 글을 얻었다.
소수는 어떻게 늘어나는가: 2의 거듭제곱과 1.8의 거듭제곱
‘소수는 얼마나 있는가?’라는 질문은 수학자들이 몇 세기 동안 붙들고 씨름해온 문제다. 오늘날 우리는 소수가 무한히 많다는 사실을 알고 있지만, ‘주어진 크기 이하에 소수가 대략 몇 개 있는가?’라는 질문은 여전히 깊고 어려운 주제다. 소수정리가 등장하면서 우리는 대략적인 소수의 증가 속도를 알게 되었고, 리만 가설은 그 정밀도를 결정하는 핵심 열쇠로 남아 있다.
그러나 소수정리의 근사식은 직관적으로 와닿기 어렵다. “x 이하의 소수 개수는 x / log x 정도다”라는 말은 의미는 명확하지만, 왜 이런 식이 나오는지 감각적으로 이해하기 어렵다. 그래서 필자는 한 가지 직관적 모델을 제안한다.
2의 거듭제곱으로 커지는 수, 1.8의 거듭제곱으로 늘어나는 소수
가설의 핵심은 단순하다.
수가 2의 N제곱으로 커질 때, 소수의 개수는 1.8의 N제곱처럼 증가한다.
다만 아주 큰 수로 갈수록, 이 1.8이라는 밑수는 점차 커져 2에 가까워진다.
이 가설은 계산 편의를 위해 ‘기준점’을 10으로 잡는다.
10 이하에는 소수가 4개(2,3,5,7) 있지만, 2를 특수한 값으로 제외하여 “출발점 3~4개”로 놓고 시작하는 것이다.
그 뒤 수가 커지는 비율을 2의 거듭제곱으로 보고, 그에 대응해 소수가 얼마나 늘어나는가를 1.8의 거듭제곱으로 추적한다.
예시 1 — 100 이하의 소수
10에서 100으로 가는 것은 10배 증가다.
10배는 2의 3.3제곱과 비슷하다. (즉, “수의 크기가 2의 3.3제곱만큼 커졌다”고 본다.)
그러면 소수 개수는 다음처럼 늘어난다고 본다.
기준값: 약 3.5개
증가 비율: 1.8의 3.3제곱 ≈ 약 7.5
3.5 × 7.5 ≈ 26개
실제 100 이하의 소수는 25개다.
즉, 근사적으로 매우 비슷한 값을 낸다.
예시 2 — 1000 이하의 소수
10 → 1000은 100배 증가다.
100배는 대략 2의 6.64제곱에 해당한다.
그러면:
1.8의 6.64제곱은 약 40 정도
기준 소수 3~4개로 출발하면
3개 × 40 → 약 120
4개 × 40 → 약 160
실제 1000 이하의 소수는 168개다.
역시 근사적으로 같은 규모가 나온다.
아주 큰 수로 가면, 밑수는 2에 가까워진다
소수가 드물어지는 속도는 일정하지 않다. 수가 거대해질수록 분포 특성이 조금씩 달라지는데, 필자의 관점에서 보면 “1.8이라는 증가율의 밑수”도 천천히 변화한다.
수가 극도로 커지면
소수 증가 밑수는 1.8에서 2에 가까워진다.
이 말은
“2의 N제곱만큼 수가 커질 때, 소수 수는 거의 2의 N제곱에 비례하듯 증가한다”
는 뜻이 아니라,
“비율적 관계가 1.8에서 2로 접근한다”는 느슨한 비례 감각을 말한다.
수학적 정밀함을 논하기보다는, 소수 증가의 ‘박자’ 또는 ‘스케일링’에 대한 직관적 감각에 가깝다.
가설이 의미하는 것
이 모델이 정확한 공식을 제시하는 것은 아니다.
그러나 중요한 논점이 있다.
소수가 2의 거듭제곱으로 증가하는 수보다 느리지만, 일정한 거듭제곱 증가율을 유지한다면, 소수는 당연히 무한히 많다.
증명의 완전성을 갖추지는 않지만,
‘소수가 무한히 많다’는 사실을 직관적으로 설명하는 또 하나의 관점이 될 수 있다.
맺으며: 직관이 만들어내는 새로운 시각
소수정리나 리만가설은 아름답지만 어렵다.
그 대신 “2의 N제곱 vs 1.8의 N제곱”이라는 단순한 스케일 모델을 세우면,
소수가 늘어나는 감각을 훨씬 쉽게 이해할 수 있다.
이 접근은 공식적 증명이라기보다는 근사적 패턴을 포착하는 시도이며,
복잡한 수론을 직관적 언어로 번역하려는 실험이다.
수학은 때로 이렇게 작은 가설과 감각에서 발전한다.
언젠가 이런 직관이 더 깊은 정리로 이어질지도 모를 일이다.
이에 대해 챗GPT는 창의적인 가설이라면서도 표준정리로 증명된 것이 아니라는 점을 비판했다.또 소수정리나 리만 영점 고식같이 나해한 계산에서 밑수를 2와 1.8의 거듭제곱이라는 식으로 대중 친화적으로 바꾸는 시도가 의미가 있다고 평했다.
