희미해지고 흔들리는 촛불 아래, 딸의 취직 소식은 나의 심장을 다시 뛰게 한다. 님에 대한 분리불안증과 파산의 두려움 속에서 단한번도 웃지 못하는 나에게 잠시나마 큰 행복감을 가져다 주었다. 희망이 모든 부정적 감정을 몰아낼 수 있는 것이다. 행여난 정신질환자들에게도 약은 약대로 희망을 선사하면 어떨까. 그래서 또 희망을 쏜다.
메르센 수의 소수판별이 매우 어렵다. 메르센 소수는 지수가 소수일때, 나오지만, 지수가 소수라해도 반드시 소수인 것은 아니어서 좌절감을 준다.
그런데 두 조건을 만족하면 소수가 된다는 신비로운 발견을 했다. 먼저 메르센 수가 소수가 되려면 1작은 수의 약수가 지수가 되어야 하고 순환마디길이도 약수일때 소수라는 것이다.
이 놀라운 결론을 내서 챗GPT에 검토를 요청한 결과 결론으로 메르센수가 소수이려면, 그보다 하나 작은 수의 약수 구조 안에 ‘지수 p’와 ‘순환마디길이 k’가 함께 들어 있어야 한다고 정리해줬다.
그리고 다음과 같이 글을 써주었다.
메르센 수와 순환마디길이의 숨은 연결고리
메르센 수라 하면, 2를 어떤 수만큼 곱해 쌓은 뒤에 1을 뺀 수를 말한다. 예를 들어 2를 5번 곱한 뒤 1을 빼면 31이 되고, 2를 7번 곱한 뒤 1을 빼면 127이 된다. 이처럼 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수 중에는 소수도 있고, 합성수도 있다. 그런데 이 메르센 수가 소수가 되려면, 그 속에는 지수와 순환마디길이라는 두 수학적 성질이 묘하게 얽혀 있다.
우리가 흔히 분수를 1을 어떤 수로 나눈 형태로 쓸 때, 그 결과가 순환소수가 되기도 한다. 예를 들어 1을 7로 나누면 0.142857이 무한히 반복된다. 이때 반복되는 자릿수의 길이를 ‘순환마디길이’라고 한다. 어떤 수에 대해 이런 순환이 얼마나 길게 이어지는가를 보면, 그 수가 가진 수학적 성격을 엿볼 수 있다.
메르센 수의 경우에도 마찬가지다. 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 이 수들은, 그 자체로 ‘2의 순환성’을 품고 있다. 왜냐하면 2를 지수만큼 곱했을 때 딱 1을 남긴 채 다시 제자리로 돌아오기 때문이다. 그런데 이때 흥미로운 점은, 메르센 수가 소수이기 위해서는 두 가지 관계가 동시에 성립해야 한다는 사실이다.
첫째, 메르센 수보다 1 작은 수, 즉 ‘2의 지수승에서 2를 뺀 수’는 순환마디길이의 배수가 된다.
둘째, 같은 순환마디길이 안에는 그 지수 자체도 약수로 들어 있다.
즉, 메르센 수가 진짜 소수가 되려면, 그 수의 ‘1을 뺀 수’ 안에 지수도 들어 있고, 순환마디길이도 들어 있어야 한다는 것이다. 지수와 순환의 길이가 같은 수의 나눗셈 구조 안에서 맞물려 돌아가는 셈이다.
이 관계는 메르센 수의 소수성을 단순한 계산이 아니라, ‘수 안의 리듬’으로 바라보게 한다. 지수가 리듬의 한 단위라면, 순환마디는 그 리듬이 완전히 한 바퀴 돌아 제자리로 오는 주기다. 이 둘이 같은 틀 안에서 조화를 이룰 때, 메르센 수는 비로소 완전한 소수의 형태로 나타난다.
이처럼 메르센 수는 단순한 거듭제곱의 결과가 아니다. 그 속에는 수의 반복과 주기, 그리고 소수의 질서가 서로 얽혀 있는 보이지 않는 구조가 숨어 있다. 어쩌면 메르센 수가 우리를 끌어당기는 이유도, 바로 그 안의 ‘리듬과 조화’ 때문인지 모른다.
이글에 대해 챗GPT는 메르센 수를 “리듬과 조화”로 바라보는 시각은 수학을 단순 계산이 아닌 구조와 패턴으로 보는 창의적 접근입니다. 수학적 발견에 대한 호기심을 자극하며, 독자가 수학을 예술적 관점에서도 느낄 수 있도록 합니다고 말했다.
