아무리 써대도 돈이 돌아오지 않는다. 돈이 돌고 돌아야, 떠났던 님도 돌아오고, 파산도 돌려 피해갈 수 있는데. 불안과 우울이 급습한다. 그래도 어디선가 독지가가 글을 보고 있을 것같아 써본다. 학교교육은 이차방정식에서 근의 공식을 외워, 수를 대입해서 풀라고 가르치고 배운다. 물론 근의 공식을 유도하는 법도 가르치지만 이런 교육은 참교육이 아니다고 생각한다.
필자는 이차방정식의 근의 공식을 가르치고 외우라하기전에, X값에 -2A분의 B+알파를 대입해서 연산을 하면 자연스럽게 근을 찾을 수 있다고 가르치는 게 좋다고 생각한다.
사실 근의공식은 수능때까지의 유효기간으로 수능이 끝나면, 공대생 등을 제외하고 수학을 계속 공부하지 않는 학생이라면, 기억나지도 않고 써먹지도 않는 식이 된다. 그리고 근의 공식을 유도하는 법도 가르치고 배우지만, 원리를 가르치는 교육이 아니라고 생각한다.
2차방정식에서 알아야할 원리가 여러가지겠지만, 핵심적으로 두 근은 산술평균에서 같은 거리에 있다는 것이다.
어떤 임의의 수 두개를 상정하고 이들의 평균값은 두개의 수의 각각의 거리가 같지 않는가. 2와 4의 경우도 산술평균은 3으로 2에서 3, 그리고 3에서 4의 거리는 같다.
그래서 방정식에서 산술평균과 계수의 관계를 알편, 2a(2차항 계수)분의 b(1차항 계수)가 두 근의 산술평균이 된다. 여게서 -알파는 평균에서 근까지의 거리를 나타낸다.
그러면 이값이 근이인데, 이를 미지수 X에 대입해서 연상을 하면, 새로운 알파를 미지수로 하는 이차방정식이 나오는데, 이때 이 방정식은 1차항의 계수가 0이 되는 것이다.
1차항의 계수는 두근에서 각각 평균까지의 합이므로, 거리가 -이고 +로 같으니 0이 되는 것이다.
1차항이 없는 알파를 미지수로 하는 2차방정식은 연산해서 풀면 알파값을 구할 수 있지 않는가.
그러면 두 근의 값은 산술평균에서 +알파와, -알파 두개를 구할 수 있다. 중근일땐 알파가 0이다.
예를 들어보자. X^-3X+2에서 X에 2분의 3-알파를 대입해서 풀자. 그러면 4분의 9-3알파+알파^-2분의 9+3알파+2이 나온다.
그러면 이식은 알파^-4분의 9+2=0인된다. 알파는 루트1이된다. 즉 알파는 1이되고, 두 근은 산술평균 2분의 3에 +2분의 1과 2분의 3에 -2분의1 에 음수를 취해주면 되는 것이다.
물론 시간적으로는 근의공식을 외워서 바로 대입한게 빠를지 모르나, 내 생각에는 원리를 배우고, 근의 공식을 오래동안 기억하지 못하는 경우를 생각해서 이런 교육을 시키는 것이 더 타당하다고 생각한다. 또 이 방식대로 근의 공식도 유도할 수있고, 3차방정식등 고차방정식으로 가면 근의 공식을 항상 기억하기도 힘들고 근의 공식을 유도하는 방법도 이 방식으로 할 수 있다는 차원에서 교육의 혁신이 필요하다고 생각한다.
다음은 챗GPT가 다듬은 글이다.
근의 공식, 외우기보다 이해하기
필자는 이차방정식의 근의 공식을 가르치기 전에, 학생들에게 이렇게 묻고 싶다.
“왜 꼭 외워야만 하는가?”
사실 근의 공식은 고등학교 수능시험을 위한 ‘임시 도구’에 가깝다. 수능이 끝난 뒤, 공학을 전공하는 학생이 아니면 이 공식을 기억하거나 실제로 활용할 일은 거의 없다. 그러나 근의 공식의 핵심은 공식을 외우는 것이 아니라, 그 공식을 이해하고 유도하는 과정 속에 담겨 있다.
이차방정식의 근에는 한 가지 중요한 원리가 숨어 있다.
바로 두 근은 산술평균을 중심으로 같은 거리에 있다는 것이다.
예를 들어, 2와 4의 평균은 3이고, 각각 3으로부터의 거리는 1로 같다. 이와 같은 관계가 이차방정식의 근에도 성립한다.
이 원리를 식으로 표현하면,
두 근의 산술평균은 2a분의b가 된다.
여기서 a는 2차항의 계수, b는 1차항의 계수이다.
그리고 평균에서 각 근까지의 거리를 α라고 하면, 두 근은 다음과 같이 쓸 수 있다.
2a분의b+α를 원래의 이차방정식에 대입하면, 1차항이 사라지는 새로운 식이 만들어진다.
그 이유는 두 근이 평균에서 +α, -α의 대칭 관계를 이루기 때문이다.
결국 이 새로운 방정식에서 α를 구하면, 근의 공식을 자연스럽게 얻을 수 있다.
이 접근법은 단순히 공식을 외우는 방식이 아니라,
평균과 대칭의 개념을 통해 근의 본질을 이해하도록 돕는다.
이렇게 가르치면 학생은 공식을 잊더라도, “두 근은 평균을 기준으로 대칭적”이라는 핵심 개념은 오래 기억할 것이다.
그리고 챗GPT는 이 글에 대해 '지적 자율성과 탐구적 사고의 가치를 이야기하는 철학적 교육 에세이' 라고 평했다.
