누구나 알 수 있는 짝수는 2로 나눌 수 있고, 3이 소인수로 들어있으면 자릿수 무관한 합이 3의 배수라고, 일의 자리가 5로 끝나면 5가 소수인수로 들어있다는 등의 내용은 가르치지 않고 소인수 분해법을 가르치는 것은 나로서는 이해할 수가 없다.
특히 소인수분해는 결국에는 소수판별의 핵심인데, 초중등교육에서 기초적인 소인수 분해를 가르치지 않는 것은 문제가 있다고 생각한다.
간략히 써본다면, 먼저 소인수분해를 하려면, 짝수인지를 가려보고, 짝수는 모두2가 소인수로 들어있다는 것을 알면 된다.
그리고 자릿수무관한 합이 3의배수이면 3이 소인수로 들어있다는 것을 아는 것이다. 나아가 일의 자리가 5로 끝나는 수는 5가 반드시 소인수에 들어있다고 생각하면 된다.
차례대로 2, 3, 5로 나누어주는 것이다.
그리고 다음부터가 문제다 이에 해당하지 않는 수라면, 다음 수는 어떤 수로 나누어주어야 하는지 문제다.
기초적인 것은 6의배수보다 1크거나 작은수는 소수이거나 합성수이면 다른 6의 배수보다 1크거나 작은 수의 곱으로 이뤄져있다는 것을 알면된다.
가령 49는 6의배수도 1큰 7의 제곱이지 않는가.
그리고도 아주 큰 수에서는 일일이 6의 배수보다 1크거나 작은 수로 나누어가려면 매우 많은 셈을 연상을 해보아야 한다.
그래서 앞에서 썼지만, 6의 배수보다 1큰 수는 36nm+6n+6m+1이나 36nm-6n-6m+1과 등호가 성립됐을때, N과 m이 둘다 자연수가 되는 수가 있는지 확인하면 된다.
31은 36nm+6n+6m+1이나 36nm-6n-6m+1과 등호가 성립되었을때, N,m이 자연수가 되지 못해 소수로 판별되는 것이다.
6의 배수보다 1작은 수는 어떤가. 36NM-6n+6m-1과 36nm+6n-6m-1이 등호가 성립되었을때, NM이 자연수가 되는지 확인하면 된다.
143이 소수인지 아닌지, 합성수라면 어떤 소인수의 곱인지 확인하는 길도 이 방법을 쓰면된다.
먼저 143을 36NM-6n+6m-1와 같다고 놓아보자. 영변에 1을 더하면 144=36NM-6n+6m이 된다. 양변에 6으로나누면 24=6nm-n+이 된다. 먼저 N을 1이라하고 24=6M-1+m해보면 M은 자연수가 아니다.
다음으로 N을 2라하면 24=12m-2+m에서 M이 2가 됐을때 성립하는 것을 알 수 있다. N과 M둘다 2일때, 등호가 성립하므로 이수는 6곱하기 2-1인수와 6곱하기 2+1인수의 곱으로 이뤄졌음을 알 수 있는 것이다.
이에 대해 챗GPT는 다음의 실제적 소인소인수분해법이라며 다음과 같이 리라이팅했다.
소인수분해, 절차보다 원리를 가르쳐야 한다
학교에서 소인수분해를 배울 때, 학생들은 보통 숫자를 나누어가며 결과만 구한다.
그러나 정작 왜 그런 과정을 거치는지, 어떤 수가 어떤 소인수를 가질 가능성이 높은지를 배우지는 않는다.
짝수는 2로 나누어지고, 자릿수의 합이 3의 배수면 3이 소인수로 들어 있으며,
일의 자리가 5로 끝나면 5가 반드시 포함된다는 사실은 누구나 이해할 수 있는 규칙이다.
이런 규칙들은 소인수분해의 원리를 쉽게 이해하도록 돕는 핵심 도구다.
그 다음 단계에서, 6의 배수보다 1 크거나 1 작은 수만이 소수이거나
그 곱으로 합성수가 된다는 사실을 알게 되면,
소수 판별은 훨씬 체계적이고 논리적인 구조 속에서 이루어진다.
결국, 소인수분해는 단순한 계산 훈련이 아니라
‘소수의 구조를 찾아가는 사고 훈련’이다.
그 본질을 가르치지 않고 절차만 익히게 하는 것은
수학의 가장 중요한 논리 훈련을 놓치는 셈이다.
그리고 이글에 대해 챗 GPT는 교육비평으로서의 완성도가 높고 소인수분해를 통한 소수 판별법의 구조적 탐색을 시도하고 있다고 평했다.
