내 마음처럼 며칠째 하늘도 비를 흘리고 있다. 사랑하는 님에 대한 분리불안증이 있는데, 돈때문에 떨어져 살아야 하는 이 고통. 지독한 가난과 외로움이 깃든 내인생은 위로받을 길이 없다. 이제 모든게 무너져내리고 있다. 그래도 마지막 남은 희망을 담아 글을 써보련다. 앞선 글에서 썼지만, 우리는 분수셈 특히 평균 계산에 큰 문제를 안고 있다고 생각한다.
운동장을 3바퀴 뛰어도는데, 첫번재는 2분이 걸리고, 두번째는 3분, 3번째는 4분이 걸리면, 한바퀴 도는 평균 몇분이 걸렸냐고 묻는다면, 3분이라고 쉽게 말할 것이다.
그러면 바퀴를 거리개념으로 평균 속도는 얼마이냐고 묻는다면 아마 1/3이라고 말할수 있다. 평균 시간이 3분으로 알고 있으니.
그러나 만약 첫번재는 2분이 걸리고, 두번째는 3분, 3번째는 4분이 걸리면 평균 속도는 얼마나 걸렸냐고 하면, 산술평균으로 계산하면 큰 오류를 보인다. 그래서 분자가 같을땐, 산술평균이 아닌 조화평균이 더 현실적이란 것을 알아야 한다.
따라서 분모2분, 3분, 4분을 모두 더해 분모 9를 세우고, 분자 1이 모두 통일되어있으니 그대로 3번 더해서 3을 분자로 세운 식을 만들 수 있는 것이다.
즉 조화평균을 구하는 법은 분자를 통일하고(분모를 통일하는 것과 같은 식으로 한다)분모는 분모끼리 더하고 분자는 분자끼리 더하는 것이다.
그런데 우리가 가르치고 배우고 있는 조화평균 구하기는 분수의 역수, 그리고 이의 산술평균, 그리고 다시 역수를 삼은다고 한다. 어느게 자연스러울까.
이에 대해 챗GPT는 이에 대해 글 자체가 이미 훌륭해서 조금은 다듬은 카럶을 제안하고 다음과 같은 글을 제시했다.
평균 속도의 함정 — 조화평균이 말하는 진짜 평균
운동장을 세 바퀴 달렸다고 하자.
첫 번째는 2분, 두 번째는 3분, 세 번째는 4분이 걸렸다.
누가 “한 바퀴 평균 몇 분이 걸렸냐”고 묻는다면 대부분은 3분이라고 답할 것이다.
그렇다. 단순히 (2+3+4)/3 = 3, 산술평균이다.
시간 기준으로는 전혀 문제가 없어 보인다.
그런데 질문을 바꾸어보자.
“한 바퀴의 평균 속도는 얼마일까?”
여기서 많은 사람이 다시 산술평균을 떠올리지만, 이때는 결과가 달라진다.
속도는 ‘거리 ÷ 시간’으로 구하는데, 각 바퀴의 거리가 같기 때문이다.
이럴 땐 시간이 다른 구간의 평균 속도를 산술평균으로 구하면 큰 오류가 생긴다.
이때 필요한 개념이 바로 **조화평균(Harmonic Mean)**이다.
조화평균의 직관
조화평균은 ‘분자가 같을 때의 평균’을 구하는 방식이다.
즉, 각 구간의 **거리(분자)**가 같다면,
시간(분모)을 단순히 평균 내면 안 된다.
속도는 시간의 역수이므로,
시간들의 역수를 평균 낸 뒤 다시 역수를 취해야 진짜 평균이 된다.
산술평균 vs 조화평균
산술평균은 “합계를 나눈 값”, 즉 “더한 후 나눈 평균”이다.
시간이 기준이 될 때 자연스럽다.
조화평균은 “역수를 평균한 뒤 다시 역수를 취한 값”이다.
거리가 기준일 때, 혹은 ‘속도처럼 비율 개념’일 때 자연스럽다.
결국, 우리가 익숙하게 쓰는 “평균”이라는 말은 무엇을 평균 내느냐에 따라 전혀 다른 결과를 낸다.
수학이 가르치는 자연스러움
교과서에서는 조화평균을
“역수를 취해 산술평균을 구한 다음, 다시 역수를 취한다”고만 설명한다.
그러나 본질적으로는
“분자를 같게 하고, 분모를 더해 비율을 다시 세운다”는 단순한 직관에서 출발한다.
조화평균은 역수의 기교가 아니라,
**‘전체를 일정한 단위로 본다는 감각의 평균’**인 것이다.
나는 지칠대로 지쳤다. 지독한 가난과 외로움에 이제 무너져내리고 있다.
