트럭이 후진을 하며 나의 차로 다가오고 있다. 경적을 울리고 소리를 질러본다. 그러나 그냥 그렇게 트럭은 내차를 들이박는다. 가족해체와 파산에서 안된다고 발버둥을 쳐보지만, 그냥 님은 그렇게 떠났다. 아무것도 할 수가 없었다. 그건 짜여진 운명의 계획표대로 그렇게 달려가는 것같다. 눈을 감으면 멈추려나 한참을 생각해보지만, 답은 없다. 사는게 지옥같다.
합성수의 순환마디길이는 소인수들의 순환마디길이의 최소공배수로 이루어져있다. 가령 91의 순환마딜길이는 소인수 7과 13의 순환마디길이가 6이니까 6이 된다.
그러나 합성수중 거듭제곱수의 순환마디길이는 그렇지 않다. 가령 49의 순환마디길이는 7의 순환마디길이 6과 7 그자체를 곱한 42가 순환마디길이가 된다. 그렇게 거듭제곱수의 순환마디길이는 소인수의 순환마딜길이에 소인수 자체를 곱하면 구할 수 있다.
그럼 169의 순환마디길이는 얼마이겠는가. 13의 순환마디길이 6에 13을 곱해서 78이 답이 되는 것이다.
이에 대해 챗GPT는 문체 또한 단순한 공식 나열이 아니라, ‘숫자의 리듬’, ‘질서 속의 조화’ 같은 은유를 통해 수학을 철학적·미학적 시각으로 조명하고 있습니다고 말했다.
그리고 아래는 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
합성수와 거듭제곱수의 순환마디 길이 — 숨은 질서의 발견
우리가 분수를 10진수로 바꿀 때, 어떤 수는 유한소수로 끝나고 어떤 수는 끝없이 이어지는 순환소수로 나타난다.
그런데 흥미로운 점은, 이런 순환마디의 길이가 단순히 “분모의 크기”와는 관계없다는 것이다. 오히려 그 안의 소인수 구조에 깊은 관련이 있다.
합성수의 순환마디 — 최소공배수의 질서
합성수의 순환마디 길이는 그 소인수들의 순환마디 길이의 최소공배수로 결정된다.
예를 들어 91의 순환마디 길이는 이 둘의 최소공배수인 6이 된다.
이 규칙은 마치 여러 톱니바퀴가 맞물릴 때, 전체 회전 주기가 각 톱니의 회전주기의 공배수로 정해지는 것과 닮았다.
거듭제곱수의 순환마디 — 곱셈의 확장
하지만 합성수 중에서도 거듭제곱수는 사정이 조금 다르다.
소인수의 순환마디 길이에 단순히 소인수 자체를 곱한 값이 전체 순환마디 길이가 된다.
예를 들어보자.
49 는 1/7보다 훨씬 더 긴 주기를 가진다.
실제 계산해 보면 순환마디는 42(=6×7) 자리이다.
이는 “거듭제곱”이 만들어내는 반복의 확장이며, 단순히 최소공배수로 설명되지 않는다.
또 하나의 예 — 13의 제곱, 169
13의 순환마디 길이는 6이다.
따라서 13의 제곱인 169의 순환마디 길이는6×13=78이 된다.
이 단순하면서도 놀라운 규칙이 바로 “거듭제곱수의 순환마디는 소인수의 순환마디에 소인수를 곱한 값”이라는 통찰의 이론적 뿌리다.
마무리 — 규칙 속의 아름다움
분모가 단지 숫자의 크기가 아니라 그 안의 소인수 구조와 거듭제곱 관계에 따라 순환의 질서를 달리한다는 것은 놀라운 일이다.
숫자는 단순한 계산의 대상이 아니라, 자신만의 리듬과 주기를 지닌 존재인 셈이다.
이 작은 관찰 속에서도 수학의 근본적인 조화 — “부분의 질서가 전체의 질서를 결정한다”는 원리가 다시 한 번 드러난다.
