815, 황금빛 보름달에 황홀해하지 말라, 황금빛 들녁이 갈아엎어지면 땅까지 얼어붙는 겨울이 오고, 황금빛 노을이 지면 어두운 방이 찾아온다. 어느덧 나이 60 황금기에 찾아오는 건 노화, 이별, 소득감소, 오는것마다 지독한 가난과 외로움의 퇴행. 파산과 가족해체앞에 무너져내리는 내가슴, 미치고 환장하여 눈물만 흘러내리는 추석, 그래도 풍요로운가. 모든것을 싹 깨부수고싶다.
그래도 815는 365일, 354일의 황금비로 가르는날이다. 둥근 추석달과 815의 연과성을 수리적으로 보면 다음과 같다.
공간은 직선 10의 제곱 100
순환하는 시간의 길이는 9의 제곱 81(낮과 밤의 길이는 81일째 같아지고)
공간은 시간으로 나누면 모든 순환(100나누기81 1.2345678901--)
공간의 길(지름)을 162칸으로 가르고(162는 100대비 황금비)
반지름은 81칸(162 나누기2는 81, 81나누기 5는 16.2)
파이는 1나누기81 곱하기 루트2(가로와 세로는 대각선에서 만나)
곱하기 360도. 태양의 파이는 3.14
공간 4-3.14는 0,86, 3.14나누기 0.86은 3.65
그러나 태양은 달과 시공간을 일치시키려하고
모든 공간에서 모든 시간을 빼면(100-81은 19)
공간의 100에 바둑판을 그리고 (19곱하기 19는 361)
그럼 반지름은 81.5칸(163나누기2는 81.5, 815 나누기 5는 163)
가로와 세로가 만나는 대각선은 1나누기 81.5
에 루트2를 곱하고 곱하기 360도 하면 3.12
달의 파이는 3.12 4에서 3.12를 뺀 0.88로 3.12을 나누면
3.54. 달의 1년이 나오고
황금중년의 그대여,
8월 15일 8시 15분 황금노을이 지고
황금달이 떠오르고 황금들녘에서
그대를 만난다면, 쓸쓸한 바람은 없을테지요
거듭제곱근 풀이를 교육과정에서 잘 가르치거나 배우지 않는 것은 이상하다. 어려움 공식이 아니라, 이해만 하면 쉽게 풀 수 있는데, 왜 우리 교육과정은 공식으로 정립되지 않으면 난가르치는지 이해를 못하겠다.
거듭제곱은 풀이 2제곱근과 4나 16같은 2의 거듭제곱의 거듭제곱근과 2이상의 거듭제곱근으로 나누어 생각해 볼 수 있다.
먼저 실생활에서도 자주 쓰이는 2제곱근은 두수의 곱은 산술평균과 조화평균의 곱이과 같다는 것만 이해하면 된다.
그래서 어떤 수의 2제곱근을 구하라하면, 두 수를 곱해 어떤 수가 되는 임의 두수를 선택해 이 두수의 산술조화평균을 구하고 다시 이 두 평균의 산술 조화평균을 구해나가면 근사치로 구할 수 있게 된다.
두수의 기하평균도 두수의 산술 조화평균을 구하고 또 산술조화평균을 구해나가면 된다.
그리고 2의 거듭제곱의 겁듭제곱근은 2수씩 산술조화평균으로 구하고 또 구해진 수로 또 산술조화평균을 구해나가면 된다.
한번 예를 들어본자. 2의 2제곱근을 구하라면, 1과 2의 곱이 2이니, 1과 2의 산술평균과 조화평균을 구한다. 즉 1.5와 1.3333 그리고 다시 이 두수의 산술 조화평균을 구해나가면 되는 것이다.
그러나 세수이상에서는 산술조화평균의 곱이 세수이상 수들의 곱과 항상 같은것은 아니기 때문에, 먼저 세수의 산술조화평균을 구한뒤에, 기하평균이 제곱근 값이 이 두 평균사이에 있다고 생각하고 다시 이 두 평균 사이의 임의수를 택해 세수 곱으로 나누어가며 다른 ㅁ나눈 수와 몫으로 다른 세수를 구한다.
그럼 이세수는 서로 차가 앞의 세수간의 차보다 크지 않는 수가 되고, 이를 반복한다.
가령 3의 3제곱근은 처음에는 1과 1, 3의 곱이 3이니 이세수를 택한후 산술평균과 조화평균을 구한다. 산술평균은 5/3이고 조화평균은 9/7이 된다. 그럼 5/3과 9/7 사이에 근사치가 있을 것으로 염두에 두고 그중의 임의의 수를 택해서 세수의 곱이 3이 되는 수를 다시 구한다. 그리고 이의 산술평균과 조화평균을 구해서 같은 식으로 반복해 나가면 되는 것이다.
이에 대해 챗GPT는 좀더 쉽게 정리해준다고 하여 다음과 같이 글을 썼다. 거듭제곱근의 직관적 이해
거듭제곱은 단순히 “수를 자기 자신으로 여러 번 곱한 것”이지만, 거듭제곱근은 그 반대 과정으로, 곱했을 때 일정한 값을 만드는 수를 찾는 것이다.
이때 단순히 계산 공식에 의존하지 않고, 평균의 개념으로 근사값을 찾는 방법이 있다.
1. 2제곱근의 경우
실생활에서 자주 쓰이는 제곱근은 두 수의 산술평균과 조화평균의 관계를 이용해 근사적으로 구할 수 있다.
예를 들어, 두 수 a와 b의 곱이 어떤 수 N이 될 때, 그 두 수의 산술평균과 조화평균은 항상 N의 제곱근 주변의 값을 이룬다.
즉, 산술평균 조화평균을 구하고, 이 두 평균의 평균을 반복적으로 취하면 N에 점점 가까워진다.
예시:2의 제곱근을 구하려면 1×2=2이므로 a=1,b=2로 둔다.
산술평균: 1.5 조화평균: 1.3333... 두 평균의 평균 1.4166...1.4142
.4142와 거의 일치한다.
2. 2의 거듭제곱근의 경우
2의 4제곱근이나 16의 거듭제곱근 같은 경우도,
2개씩 짝지어 산술평균과 조화평균을 구하고,
그 결과로 얻어진 수들을 다시 평균 내는 과정을 반복하면 된다.
즉, 거듭제곱이 커질수록 평균의 반복 과정이 깊어질 뿐, 원리는 같다.
3. 세제곱근 이상의 경우
3제곱근 이상에서는 단순히 두 수의 산술·조화평균만으로는 곱의 관계가 일정하지 않다.
이때는 먼저 세 수의 산술평균과 조화평균을 구하고,
그 사이에 실제 근사값이 존재한다고 가정한 뒤,
세 수의 곱이 일정해지도록 새로운 세 수를 만들어 나가는 과정을 반복한다.
예시:
3의 세제곱근(³√3)을 구한다고 하자.
먼저 1,1,3을 택하면 곱이 3이다.
산술평균: 1.6667
조화평균: 1.2857
따라서 ³√3은 두 평균 사이, 약 1.45 근처에 있을 것으로 추정할 수 있다.
이 값을 다시 세 수의 곱이 3이 되도록 조정하고,
다시 산술·조화평균을 구하며 반복하면 점점 더 정확해진다.
결론
이 방법은 계산기 없이도 거듭제곱근을 평균의 반복으로 직관적으로 접근할 수 있게 한다.
산술평균은 크기를 키우고, 조화평균은 작게 하므로
이 둘의 균형점이 곧 거듭제곱근의 위치가 되는 셈이다.
즉, 거듭제곱근은 산술적 조화의 중심값으로 이해할 수 있다.
