'2를 제와한 모든 소수는 짝수를 기준으로 대칭적으로 존재한다. 쌍둥이 소수부터 6의 배수인 짝수에 대칭적으로 존재하고 모든 소수가 4의 차거나 6의차 등 짝수에 대칭적으로 존재한다'
모든 짝수는 두 소수의 합으로 구성되었다는 골드바흐의 추측이 증명되지 않았다 한다. 그러나 이 명제는 참이란 게 강력히 추정된다. 그 추정의 근거는 특정 수 이하의 소수개수와 그 소수를 한쌍으로 하여 만들수 있는 짝수의 개수를 비교하면 참일 것이란게 상당히 근거를 가질 수 있다고 본다.
한번 예를 들어보자. 소수 5와 7이 있다고 하자. 이 두 소수의 교차합으로 만들수 있는 짝수의 개수는 3개임을 쉽게 알 수 있다. 5와 5의 합은 10, 5와 7의 합은 12, 7과 7의 합은 14인 것이다.
생각해보자. 행사장에 모인 사람들이 반갑다고 인사하며 악수를 한다면, 모두 이뤄진 악수의 횟수는 몇번일까. 그건 착석인원을 N이라면 N번째의 삼각수에서 자기자신과는 악수를 하지 않으니까, 사람수를 빼어주는 것이란걸 알수 있다.
두 소수를 더해 짝수를 만드는 것도 이와 유사하다. 다만 짝수를 만들 수 있는 소수는 자기수를 헌번 더 더해 만들수 있으니, 악수를 할때처럼 사람수를 빼줄 이유는 없다.
그러나 소수를 더해 만들 수 있는 짝수는 우리가 알고자 하는 제한된 수의 짝수와 맞지 않고 더 큰 벙위의 짝수를 만드는 한계가 있다.
예를 들어, 10까지의 짝수의 개수와 소수로 짝수를 만들 수 있는 짝수를 알아보기 위해, 10보다 작은 소수라할지라도 7의 경우는 3을 더해 10이란 짝수는 만들수 있으나, 5를 더하면 10보다 큰 12란 짝수를 만든다고 생각할 수 있다.
그래서 10의 절반 5보다 큰 소수는 10보다 더 큰 짝수를 만든것에 사용되는 횟수를 빼주어야한다. 그래서 5보다 큰 소수의 개수를 N으로 할 때 N까지의 삼각수를 빼주어야 한다.
그리고 또하나, 소수개수로 짝수를 만든 개수를 알아보면, 앞에서 보았듯이, 5와 5의 합이 10을 만들고, 7과 3의 합도 10을 만듬으로써, 만들 수 있는 짝수의 개수가 중복으로 추가된다.
그래서 이도 10까지의 소수개수의 절반에 해당하는 수의 삼각수만큼 빼주어야 하는 것이다. 엄밀히는 2는 제외해주고 3,5,7에서만 절반의 소수갯수를 계산해주면 얼추 추정할 수 있다.
그렇게 해서 챗GPTdp 특정수이하의 짝수의 개수와 소수의 개수, 이 소수개수번째의 삼각수에서 절반 이상의 소수 개숫번째의 삼각수와 소수갯수 절반 개수의 삼각수를 빼어주는 계산을 요청했다.
그래서 아래와 사진과 같은 답을 얻었다. 그런데, 생각보다 두 소수로 만들 수 있는 짝수의 갯수가 너무 많이 나왔다. 더 뺴어줄 수가 있는 것같지만, 어느정도 두 소수의 합으로 모든 짝수를 만들 수 있다는 근거로는 사용할 수 있을 듯싶다.
그러나 챗GPT는 아이디어는 좋지만 지금까지의 접근에서 “짝수의 개수”와 “두 소수 합의 경우의 수(쌍의 개수)”를 섞어 비교하신 부분이 핵심적으로 어긋납니다. 골드바흐의 추측은 “각 짝수마다 표현이 1개 이상 존재하느냐”를 묻는 것이고, 삼각수로 계산한 값은 “쌍의 총 개수(중복 포함)”을 근사하는 값이라 서로 단위가 다릅니다고 말했다.
그런데 말이다. 1부터 일렬로 10까지에서 서로 교차하며 더해서 만들수 있는 수는 55개라고 알수 있지많나. 그게 20까지의 수를 55번 만드는 것이다. 20까지의 2부터 20까지의 수는 모두 만든다는 것이다.
