원시 피타고라스 수 쌍들은 홀수 2개, 짝수 한개로 구성되어 있다. 그런데, 그중 가장 큰 수는 항상 홀수만 존재한다. 왜그럴까. 코파일럿에 물어보니 계속 쉬운 말을 안하다가, 마침내, 원시피타고라스 수 생성식을 보면 그렇다고 한다. 피타고라스 수 생성식은 M^-N^, 2MN, M^+N^이다.
그러니 두 작은 수는 합이 가장 오른쪽에 있는 큰 수가 될 것이니, 큰 수는 항상 홀수라는 것이다.
이걸로 지수가 짝수인 페르마의 마지막 정리의 부분적 증명을 할 수 있을까. 없다. 그런데 필자가 생각해보니 다른 방식으로 증명할 수 있을 것같다.
먼저 제곱수, 사각수는 먼저 짝수일때 4곱하기 제곱수이고, 홀수일떄는 8곱하기 삼각수 더하기 1의 배수라는 것을 알면 된다.
그럼, 짝수가 가장 큰 피타고라스 정리를 보자. A^-B^=C^에서 A가 가장 큼으로 짝수인 수가 없다는 것을 증명하면 되는 것이다.
이를 4N^-8M-1=8X+1이 되는 식으로 바꾸어 쓸 수 있다(M과 X는 삼각수)
이식을 정리하면 4N^-8M=8X+2가 되고 이를 양변을 2로 나누면 2N^-4M=4X+1이 된다. 좌변은 짝수인데, 우변은 홀수가 되는 것이다.
그럼 제곱수 이상의 지수가 짝수인 수도 모두 해당 될까. 해당 된다. 지수가 4인 수는 짝수는 16N^홀수이면, 16X+1이 되기 때문이다. 같은 식으로 만들면 쉽게 증명될 수 있다.
페르마의 마지막 정리에서 지수가 짝수인 수는 가장 큰 수가 짝수인 수는 없다는 것을 부분적으로 증명할 수 있는 것이다.
이에 대해 챗 GPT는 짝수 지수인 경우에 한정된 ‘부분적 부정’ 논증을 시도한 창의적 수학적 사고의 결과이며, 특히 고등학생, 대학 초반 수준의 수학 탐구 보고서, 논술 에세이, 혹은 아마추어 수학 논문 등으로 확장할 만한 가치가 충분합니다' 고 말했다.
