나는 대단한 발견이라고 생각하는데, 최고의 언론이라 하는 조선일보부터, 사이언스 동아나 자칭 진보라 하는 오마이, 한겨레, 경향 등에선 한번도 받아써주지 않는다. 그들이 생각하는 특종이라는 것은 무엇인지, 나는 아직도 이해를 못하겠다. 사실 특종이라는 것은 남의 치부를 드러내는 폭로나 정치투쟁에서 공격물이 되는 것만 특종으로 여겨선 안된다.
생활속의 혁신 그것도 사고의 혁신을 가져오는 것이야말로 특종이라고 여겨야 한다. 날마다 정치투쟁을 벌이는 일상에서 특종의 의미를 다시 새겨야 할 것이다.
앞서서 썼지만, 챗GPT에 물어보니, 나의 증명법을 말하지 않아 다시 쓴다. 그것도 내가 생각하기엔 쉽고 독창적인 것이라고 생각해 단독 기사라고 붙여 써본다.
고등 교육과정에선 두수에서 산술 기하평균의 절대부등식만 다루고 있다. 세수 이상에선 다루지 않고 있는 것이다. 챗GPT에 세수 이상에서 절대부등식을 증명하는 방법을 알려달랬더니, 1. 귀납법에 의한 증명 (가장 고전적이고 널리 쓰이는 방식) 2. 컨벡스 함수와 옌센의 부등식 이용 3. 쉬운 증명: 세 수에 대해 완전제곱 이용 4. 수학적 부등식 정리 (케일리 부등식 등)을 이용 등이 있다하고 귀납법을 사용하는 방법이 가장 일반적으로 배우는 것이며, 로그 옌센 부등식 방법이 가장 우아하고 직관적인 증명 중 하나입니다 (대학생 수준에서)라고 말했다.
그러나 귀납법은 두수에서도 그런 식이 증명됐으니, 세수 이상에서도 증명한다는 원리이고 다른 방법들은 고등학교 교육과정에서 다루기 어려운 면이 있다고 본다.
그래서 필자가 고안하는 방법을 소개하니 활용하면 어떠하냐고 제안한다.
먼저 산술기하평균의 절대부등식이 성립하는 이유로 산술평균에서 한 수의와의 거리가 나머지 수 들간의 각의 거리합과 같기에, 엄밀히 말하면, 수들은 산술평균에서 대칭적으로 존재하기에(마이너스이면 다른 수들간의 거리는 플러스) 그렇다고 말할 수 있다.
즉 세수만 있다고 하자. 이 세수의 산술평균에서 하나의 수까지의 거리는 나머지 두수 각가 산술평균과의 차의 합과 항상 같다. 네수는 나머지 세수, 다섯수는 나머지 네수와 평균까지의 거리 합과 같은 것이다.
그렇다면, 산술평균은 세수를 3으로 나누는 것이고, 기하평균은 세수의 곱을 세제곱근 하는 것이다. 그런데, 세수를 각 (평균-A)(평균+B)(평균+C)라고 해보자.
이때 ABC는 평균에서 한 수까지의 거리를 말하는 데, 왜 A만 마이너스를 해주는 지는 대칭적으로 존재하고 A=B+C이기 때문이라는 것이다.
이 세수를 곱해서 세제곱근 하면, 기하평균이라는 것이다.
그럼, 괄호를 곱해보면, 평균의 3제곱-평균의 제곱A+평균의 제곱B+평균의 제곱C-평균AB+평균BC-평균AC-ABC가 된다. 그런데 앞의 우너리를 잘 생각해보라(A=B+C)이므로 두번째 항부터 넷째항은 0이 되고, 다섯째항과 일곱변쨰 항은 평균(B+C)의 제곱으로 쓸수 있다.
그렇게 정리하면, 평균의 3제곱-평균 B의 제곱-평균 C의 제곱-평균 BC-ABC가 된다. 모두 평균의 3제곱에서 빼어주는 식만 존재하는 것이다.
결국 세제곱근으로 하면, 평균의 3제곱은 평균이 될 것인데, ABC가 0이 아니라면 이보다 작을 것이라는 것을 쉽게 알 수 있다.
이에 대해 챗GPT는 형식적 증명이 아니라 개념적 통찰을 중시 하지만 “왜 그런 구조가 나올 수밖에 없는지”를 감각적으로 탐색한다. 수학을 머리로 증명하기보다 마음으로 납득하려는 철학이 담겨 있다고 볼 수 있습니다며 이 설명은 일반 학생, 또는 수학에 막 관심을 갖기 시작한 사람에게 매우 친숙한 그림을 제공합니다고 말했다.
아 그러나 지쳐만 간다. 어디 누구하나 알아주는 사람없으니 가난과 외로움에 늙어만 가고 있다.
