낯선 사람들, 낯선 거리를 간다. 아무도 알아주지 않는 길을 간다. 가난과 외로움은 가는 길 내내 동행한다. 어디로 가야 나를 반기는 이가 있을지 모르고 가난과 외로움에 지쳐, 주저 앉을까 망설이기도 하지만, 그냥 간다. 혹시나, 신의 은총이 담겨있는 구원의 손길을 내미는 이가 나타날지 모른다는 한가닥 희망을 안고 그냥 간다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것도 이제는 다양한 방법이 시도될 수 있다. 앞서서 썼던 방법보다 보다 조금은 더 쉽고 보다 많은 다수의 학생, 챗GPT말로는 고등학생 수준의 수학이면 이해할 수 있는 방법을 소개한다. 간단히 말하자면, N이 홀수인 경우는 A의 N제곱+B의 N제곱이 두 밑수의 합(A+B)로 인수분해되고, 그 몫이 두 밑수의 합의 N-1제곱이 되지 않기에 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이다. N이 짝수인 경우는 A의 N제곱-B의 N제곱은 (A-B)로도 (A-B)로도 인수분해가 된다. 그 몫이 N이 2이상에선 A-B나 A+B의 N-1제곱이 되지 않기 때문에, 페르마의 마지막 정리는 성립한다는 것이다.
먼저 N이 홀수 일때를 보자. 그러기 위해선 기본적인 수리 특성을 이해해야한다. 먼저 원시피타고라스 수의 경우도 세수는 반드시 홀수 2개와 짝수 하나로 이뤄져있다. 그래서 페르마의 마지막 정리도 반드시 홀수 두수와 짝수 한수에서만 고찰하면 되는 것이다. 이건 당연한 것이다. 홀수 세수 모두라면, 홀수 두수를 더해서 홀수가 나오지 않으니 성립할 수 없고, 세수 모두 짝수이면, 서로 약분하니 검토할 필요가 없다.
세수가 서로소가 아니라면, ABC추측도 포함해서 2의 N제곱 +2의 N제곱=2의 N+1제곱으로 엄청나게 많은 수가 예외가 되어버린다.
그런데, 홀수 두수를 더해 짝수를 만드는 수와 홀수와 짝수를 더해 홀수를 만드는 두수의 두가지 조건을 나눠서 검토할 필요가 있다. 그럼 먼저 홀수 두수를 더해 짝수를 만드는 수는 왜 모든 N이 홀수인 수에서 성립하는 지 간단히 증명될 수 있다.
먼저 두 홀수 의 각가의 N제곱합은 두 홀수의 합으로 나뉘어지는데 두 밑수의 합은 짝수가 나오지만, 몫은 3, 5, 7, 등의 홀수항으로 이뤄지고 그것은 홀수가 되어 몫이 합의 거듭제곱이 되려면 짝수여야 하는데, 홀수가 되기에 성립할 수 없게 된다는 것이다.
그건 어떻게 이해되느냐, 몫의 항이 홀수개이기 에 당연히 홀수라는 건 쉽게 할 수 있다.
다음으로, 그럼 홀수와 짝수를 더해 홀수가 되는 것을 알아보자. 이것은 수에 대한 이해를 좀더 요한다.
먼저 두수를 더해서 3의 배수가 되는 수는 각각의 홀수 거듭제곱을 한뒤 더해도 3의 배수가 된다. (이는 홀수 제곱에서만 성립되는 원리다. 1의 3베곱+ 2의 3제곱은 9로 3의 배수지만, 1의 2제곱+2의 2제곱은 더하면 5로 3의 배수가 안되다)그러나 거듭제곱을 한뒤 더한 수는 소인수 3이 들어있는 수와 3의 배수를 만든뒤 거듭제곱을 하면, 당연히 소인수 3의 갯수가 달라지는 것이다.
그런데, 두수의 합으로 나누어 떨어지는데, 그 몫이 N-1의 거듭제곱이 되어야 하는데, 3의 소인수 갯수가 달라지는다는 것이다. 거듭제곱해서 3의 배수인 수는 더해서 거듭제곱하더라도 이미 더해서 3의 배수가 만들어져야 한다. 어떤 수의 홀수 제곱이 3의 배수이면, 처음부터 밑수가 3의 배수여야 한다는 것이다.
1과 2만 하더라도 1의 3제곱+2의 3제곱은 9로 3의 배수이다. 그런데, 1과 2를 먼저 더해도 3의 배수인데, 이를 거듭제곱하면 27로 3의 소인수가 3개가 된다. (참고로 홀수제곱이 아닌 2제곱먼저 하고 더하면, 3의 배수가 안된다)
다음으로 6의 배수보다 1보다 크거나 1 뺀 수를 알아보자. 홀수는 3의 배수와 6의 배수보다 1작은 수와 6의 배수보다 1큰수로 이뤄져있다. 그러면 이 3가지 조건에 모든 홀수가 포함되는 것이다.
그래서 앞에서는 3의 배수에 대해 알아본 것이고 이번에는 6의 배수보다 1큰 수나 작은 수에 대해 알아보는 것이다.
이것도 증명 원리는 3의 배수와 마찬가지다.
2와 3만 놓고 봤을때, 합은 5로 6의 배수보다 1작은 수이다. 그러니 3제곱을 먼저하고 더하면 8과 27를 더해 35를 만들면, 역시 6의 배수보다 1작은 수가 된다.
특히 여기서 증명원리는 6의 배수보다 1작은 수는 1을 더해 2가 소인수로 몇개가 들어있는지 확인함으로 그 수가 어떤수의 거듭제곱수 합의 거듭제곱수가 아니라는 데 있다.
2와 3을 더하면 5로 여기에 1을 더하면, 4의 배수는 되지 못하고 2의 배수이고, 5의 3제곱은 126으로 2곱하기 63이므로, 5일때와 마차가지로 2의 배수만 될 수있다.
그런데, 3제곱을 먼저 한뒤, 가령 8과 27을 더하면, 35이고, 1을 더하면 36인데, 4의 배수가 된다. 35가 어떤 수의 거듭제곱수가 되려면, 당연히 밑수의 합 2와 3을 더한 5의 거듭제곱수가 되어야하는데, 그렇게 되지 못하다는 것을 알 수 있는 것이다.
그래서 다시 정리하면, 3이상의 홀수 거듭제곱은 더해서 거듭제곱한수와 거듭제곱을 한뒤, 더한 수는 일치하지 않을 수 있다는 것이다. 그런데, 거듭제곱한 뒤 더한수는 더한 수로 나누어떨어짐으로 더한 수의 거듭제곱이 되어야 하는데, 그렇지 못하다는 것을 말하는 것이다.
6의 배수보다 1큰 수도 마찬가지다.
2와 5를 놓고 보면, 2의 3제곱 8과 5의 3제곱은 125로 더하면, 133이 된다. 그런데, 거듭제곱하기 전의 2와 5의 합은 6의 배수보다 1큰 수로 여기서 1을 빼주면 4의 배수는 되지 못하고 2의 배수가 된다. 그런데 133은 1을 빼주면 4의 배수가 되어, 4곱하기 33의 수가 된다. 물론 2와 5를 더한 7을 3제곱하면 343으로 1을 빼주면 342로 2 곱하기 171로 4의 배수가 되지 못한다.
절대 2와 5의 합의 3제곱이 될 수 없다는 것을 보여주는 것이다.
N이 4의배수 이상의 짝수일때도 다음번에 정리해보기로 하지만, 핵심은 더한수나 뺀수로도 인수분해가 된다는 것에 있다. 그리고 그 몫이 N-1제곱이 정수내에서는 있을 수 없다는 것에 있다.
챗 GPT는 이에 대해 학습자에게는 수학을 단순히 외우는 것이 아니라 생각하고 이해하고 설명하는 것임을 일깨워주는 좋은 예시이고, 교육적 철학적 맥락에서는 수학적 직관을 언어화한 글로 평가할 수 있다고 말했다.
