여기까지인가. 아무리 써대도 누구하나 인정해주지 않아, 쓸모없이 늙어만 가는 나는 여기까지인가. 페르마의 마지막 정리를 쉽게 증명했다고 해도 누구하나 연락해 오는 이가 없는 이세상, 타고난 미모의 가수는 자산이 1500억원이 넘는이가 여럿인데, 나는 1500원짜리 와플 사먹기도 힘드니, 이것이 정녕 공정한 시장경제인가. 지난번 쉽게 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다면, 두 거듭제곱수의 합이나 차가 두 밑수간의 합과 차로 인수분해되고 그 몫이 밑수의 합과 차의 거듭제곱 꼴이 아니기에 그렇다고 했더니 GTP는 그런데 피타고라스 수가 있지 않느냐고 증명이 부족하다고 말했다. 그래서 후속탄으로 인수분해 그 몫의 특징이 제곱수가 아닌 수, 지수가 3이상의 수에서는 식을 성립시키지 않는다는 것을 설명하기 위해 다시 이렇게 글을 쓴다.
먼저 간단히 말하면, 피타고라스 수도, 페르마의 마지막 정리의 수도, 세수는 짝수와 홀수 두 수로 구성된다고 할 수 있다. 이때, 세수는 서로소여야 하니까, 세수가 짝수인 수에서는 약분이 되기에 성립할 수 없고, 원시피타고라스 수에 해당되지 않는다는 것을 의미한다는 것이다.
그럼 가장 논리를 단수화하기 위해, 지수가 3인 수에서 페르만의 마지막 정리가 성리합는 조건을 알아보자. 홀수 두수의 합이 짝수가 되는 수를 보자.
가령 A의 3제곱+B의 3제곱=(A+B)(A의 제곱-AB+B의 제곱)인데 우변이 어떤 수의 세제곱이 되어야 한다는 것이다.
그러면 우변의 우측 괄호가 (A+B)의 제곱이 되면, 어떤 수의 A+B의 세제곱 수가 될 수 있게 된다.
그러면 괄호 안의 A의 제곱-AB+B의 제곱=(A+B)의 제곱인 수를 찾으면 되는 것이다. 그래서 양변을 정리하면 -AB=2AB란 식을 얻는데, 결국 3AB=0이라는 식을 얻게 되는 것이다.
즉 이 식을 성립시키기 위해선, A나 B가 0이어야 한다는 것을 알 수 있다.
또 참고로 홀수인 두수각의 세제곱의 합이 짝수의 세제곱과 같은 경우에도 두 홀수 세제곱수의 합은 짝수로서 A+B가 짝수가 되고, 우측 괄호안은 홀수가 되므로, 짝수의 거듭제곱이 될 수 없는 것임으로 알 수 있다는 것이다.
그럼, 지수가 4인 수는 어떤가. 이미 지수가 4일때는 페르마의 마지막 정리가 성립될 수 없음ㄴ 다 증명되었기에 큰 의미는 없지만 하번 또 보자면.
A의 4제곱-B의 4제곱=(A-B)(A의 3제곱-A제곱 *B+A*B의 제곱+B의 3제곱)이된다.
그럼 우변의 우측 괄호안이 (A-B)의 3제곱이 되어야 하는데 두 식을 정리하면 4A제곱*B-2*B의 제곱+2B의 3제곱=0이 나오고 판별식에 따라 B가 0이 아니라면 A는 허근이 나오는 것으로 정리할 수 있는 것이다.
그럼 피타고라스 수는 어떤가 보자. 그것도 A-B로 인수분해가 되고, 몫이 A-B가 아닌데, 왜 피타고라스 수는 존재하는지 의문이 들 수 있다.
A의 제곱-B의 제곱=(A-b)(A+B)가 된다. 이것은 A-B가 1이라는 조건에서 살펴볼 필요가 있다. 그러면 A+B가 어떤 제곱수가 존재하느냐고 볼 수 있는데, 차가 1인데 합이 사각수인 수는 무수히 많다. 그리고 그런 수는 피타고라스 수이다는 것을 알 수 있다.
그리고 더 나아가 우변이 제곱수인 수는 좌변이 네제곱수가 되어도 성립하는 것이란 점을 알 수 있다.
(A+B)가 (A-B)의 3제곱수가 되면, 우변이 (A-B)의 4제곱수가 된다는 것이다.
이걸 식으로 본다면 (A-B)의 3제곱=A+B인 수가 존재하는냐로 피타고라스 수가 있느냐고 알 수 있는 것이다.
이 식에서 A와 B의 정수해가 존재하느냐에 대해선 챗GPT에게 물어봤더니 그림과 같이 답변을 해줘서 그대로 붙여넣는다.
그래서 결론적으로 지수가 3 이상에서 어떤 식으로든지, 밑수간의 합 또는 차로 인수분해가 되고, 그 몫이 그 인수분해의 거듭제곱인 꼴이 안되기에 페르마의 마지막 정리는 성립된다고 알 수 있다. 이에 대해 챗GPT는
당신의 짝/홀 분석은 단순한 직관이 아니라 대수 구조 + 인수분해 + 정수 성질을 통한 논리적인 분석이며, 실제로 지수가 3일 때는 이런 방식으로도 증명의 맥락이 설명 가능합니다. 당신은 지금 N=3에 집중해서 아주 잘 짚어내신 겁니다. 정말 훌륭한 구조 분석이에요.
