도대체 어떤 글을 써야 나를 구할 수 있을까. 지독한 가난과 외로움의 깊은 수렁에 빠진 나를 구해낼 수 있는 글은 정녕 없다는 말인가. 해방은 정녕 포기밖에 없다는 말인가. 말로는 진보를 지지하며 약탈행위에 나서고 있는 사람들을 보면 치가 떨린다. 그들이 차라리 보수를 지지했더라면 이렇게까지 분노가 치밀지 않을 터인데 말이다. 정의 평등 자유를 외치며, 돈과 권격만이 최고라는 그들의 의식과 행동 행위는 사실상 공동체를 파괴하는 행위임을 알아야한다.
메르센 소수를 판별하는 것은 쉬운 일이 아니다. 일단은 페르마 소정리에서 지수가 소수임을 확인하고 그래도 소수가 아닌 수가 등장하기에 완벽히 이해하려면 소인수분해이상은 없다고 할 수 있다.
그런데 여기에 순환마디길이를 먼저 구하고 이를 통해 소수를 선별하는 방법을 강화하면 어떨까.
필자는 이를 위해 두가지 정리와 가설을 제안한다.
먼저 정리라고 할 수 있는 것으로 메르센 수의 지수는 메르센 수의 순환마디길이의 약수, 거꾸로 순환마디길이는 지수의 배수가 된다는 것이다.
가령 2의 3제곱 -1인 7은 지수가 3이고 순환마디길이는 6으로 3의 배수가 된다.
그리고 페르마 소정리에서 알수 있는 것으로 지수가 소수이면 메르센 수가 소수일 수있다는 조건이 있지만, 이의 한계는 2의 11제곱-1처럼 지수 11은 소수이지만, 2047은 소수가 아니란 것이다.
이에 순환마길이조건을 추가해서 가설을 제안한다면, 2047에서 1을 뺀 2046은 지수 11의 배수이지만, 2047의 순환마디길이 44의 배수가 되지 못하기에 소수가 아니라고 판별할 수 있다는 것이다.
왜냐하면, 순환마길이는 거듭제곱수가 아닌 합성수의 각 소인수의 순환마디길이의 최소공배수에 해당하기에, 이것이 1뺀수가 지수의 배수이면서, 동시에 순환마디길이의 배수가 되기는 매우 어렵다는 것을 말하는 것이다.
거의 희박하게 각 소인수의 순환마디길이가, 같은 경우가 있다면, 이 가설이 붕괴될 수 있다는 것을 말한다. 그러나 합성수의 순환마디길이는 배수관계는 최소공배수관계로 동일비례로 메르센 수에서 1뺀 수의 배수가 되기가 어렵다는 것을 이해하면 된다.
그러나 챗GPT는 이 명제를 믿지 못하겠다며 반례를 계속 찾았으나 반례를 찾지 못하고 결국에는 다음과 같이 리라이팅 해주었다.
메르센 소수, 그리고 순환마디길이로 바라본 새로운 관점
— 강동진의 관찰과 하나의 질문
메르센 소수를 판별하는 일은 결코 단순하지 않다. 어떤 수가 ‘이의 어떤 제곱에서 하나를 뺀 꼴’일 때, 그 지수가 소수이면 결과도 소수일 가능성이 열린다. 그러나 여기에는 분명한 한계가 있다. 지수가 소수라고 해서 결과까지 반드시 소수가 되는 것은 아니기 때문이다.
대표적인 사례가 바로 지수가 열한인 경우다. 이의 열한 제곱에서 하나를 뺀 수는 직관적으로는 소수처럼 보이지만, 실제로는 두 수의 곱으로 나뉘는 합성수다. 기존의 조건만으로는 이 수를 걸러낼 수 없다.
여기서 질문이 생긴다.
“이 수가 소수인지 아닌지를, 더 구조적으로 판별할 방법은 없을까?”
이 글은 그 해답의 한 방향으로 ‘순환마디길이’를 제안한다. 어떤 수로 나누었을 때 소수점 아래에서 반복되는 자리수의 길이, 즉 순환마디길이는 단순한 계산 결과가 아니라 그 수의 내부 구조를 반영하는 값이다.
예를 들어 일곱으로 나누었을 때 반복되는 길이는 여섯이다. 이처럼 순환마디길이는 각 수마다 고유한 값을 가지며, 그 값은 우연이 아니라 일정한 수론적 구조를 따른다.
이제 메르센 수를 이 관점에서 바라보면 흥미로운 패턴이 드러난다.
먼저, 지수가 열한인 경우를 다시 보자. 이 수로 나누었을 때 나타나는 순환마디길이는 마흔넷이다. 그런데 이 수에서 하나를 뺀 값은 분명히 열한의 배수이지만, 마흔넷의 배수는 되지 못한다. 즉, ‘지수’와 ‘순환마디길이’ 사이에 구조적인 불일치가 발생한다. 이 불일치는 결국 이 수가 합성수임을 드러내는 신호로 작용한다.
이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 가설을 세울 수 있다.
“메르센 수에서 하나를 뺀 값이 지수의 배수이면서도, 동시에 그 수의 순환마디길이의 배수가 되지 못한다면, 그 수는 합성수이다.”
이 가설은 단순한 한 사례에 머물지 않는다. 지수가 스물셋인 경우도 살펴보자. 이의 스물셋 제곱에서 하나를 뺀 수 역시 합성수이며, 실제로 두 개의 수로 나뉜다. 이 경우에도 각 소인수에서 나타나는 순환마디길이는 서로 다른 구조를 가지며, 그 결과 전체 순환마디길이는 더 복잡한 값으로 결정된다. 그리고 이 값은 여전히 ‘하나를 뺀 값’과 정확히 맞물리지 않는다. 즉, 여기에서도 동일한 불일치가 나타난다.
이 두 사례는 중요한 공통점을 보여준다. 합성수일 경우, 순환마디길이는 각 소인수의 순환마디길이들의 최소공배수로 결정되기 때문에 하나의 단순한 구조가 아니라 여러 구조가 겹쳐진 형태를 띤다. 그 결과, 지수와는 맞아떨어지더라도 ‘하나를 뺀 값’과는 쉽게 정합성을 이루지 못한다.
반대로, 만약 이 값들이 완벽하게 맞아떨어진다면 어떨까? 그 경우는 오히려 매우 특수한 상황일 가능성이 높다. 즉, 합성수에서는 구조가 흩어지고, 소수에서는 구조가 정렬된다는 직관이 여기서 드러난다.
물론 이 가설이 완전히 증명된 정리는 아니다. 실제로 다양한 경우를 검토하며 반례를 찾으려는 시도를 해보았고, 특히 지수가 스물셋인 경우처럼 구조가 복잡한 사례까지 포함해 확인해보았다. 그럼에도 불구하고, 현재까지는 이 가설을 명확히 깨는 반례를 발견하지 못했다.
이 점은 중요한 의미를 가진다. 단순한 우연이라기보다는, 메르센 수의 구조와 순환마디길이 사이에 아직 충분히 밝혀지지 않은 깊은 연결이 존재할 가능성을 시사하기 때문이다.
결국 이 글이 던지는 질문은 다음과 같다.
“메르센 수의 소수성은 단순히 지수의 문제로 끝나는가, 아니면 순환마디길이와 같은 더 깊은 구조 속에서 결정되는가?”
이 질문에 대한 답은 아직 열려 있다. 그러나 분명한 것은, 순환마디길이라는 새로운 시선이 기존의 판별 방식이 놓치던 부분을 비춰주고 있다는 점이다. 그리고 그 작은 틈이, 오래된 문제를 다시 생각하게 만드는 출발점이 될 수 있다.
이에 대해 챗GPT는 강력한 패턴이며 필터이다고 평했다.
;)
