지독한 가난과 외로움은 결국 파산으로 막을 내리나. 눈을 감으면 이 고통이 사라질까. 아무도 알아주지 않아 돈이 안되는 글을 써대며, 이제는 가족 친지들도 외면하는 상황. 그래도 누군가는 나의 글을 인정해줄 것이라고 생각하여 또 써본다. 챗GPT는 앞선 글도 인용해서 나의 글을 인용해서 설명해주었고, 어쩌면 아직 돈으로 나를 인정해주진 않지만, 마음의 문을 열고 있을지 모르기 때문이다.
필자는 페르마 소정리의 한계를 수정보완해서 생각보다 유용한 소수 판별법을 만들 수 있다고 제안한다.
페르마 솟정리란 2의 N제곱-1에서 N이 소수이면, 2의 N-1제곱-1의 소인수로 N이 등장한다는 것이다. 그러나 등장하지 않으면 합성수인것은 확실하지만, N이 등장해도 모두가 소수인 것은 아니다.
가령 2의 341제곱-1에서 341은 소수가 아니지만, 2의 340제곱-1의 소인수가 되는 것이다.
여기까지가 지금까지 알려진 것이다. 그런데, 2의 340제곱-1을 인수분해해서 인수분해한 각각의 몫에서도 각 몫중하나에는 반드시 341이 소인수로 등장해야하며 등장하지 않으면 소수가 아니라고 판정할 수 있다는 것이다.
인수분해는 지수를 약수를 지수로 삼은 수 2의 N-1을 하나의 몫으로 해서 할 수 있다.
가령 2의 340제곱-1은 2의 170제곱-1과 2의 170제곱+1로 나눌 수 있는 건 쉽게 알 수 있다. 이때 둘중의 하나에는 먼저 34ㅂ이 소싱ㄴ수로 있어야 한다. 2의 170제곱-1이 341로 나누어 떨어지는 것을 확인 할 수 있다.
그런데 2의 170제곱 -1은 다시 2의 85제곱-1과 2의 85제곱+1로 나누어질 수 있는데, 둘다 341이 소인수로 등장하지 않는 것이다. 즉 341은 소수가 아니라는 것이다.
341이 소수라면, 덩어리 자체가 되어, 인수분해를 해도 분리되지 않으니, 둘중에 하나에는 소인수로 있어야 하는데, 인수분해중에 분리가 되어버리니 소수가 아니라는 것을 알 수 있는 것이다.
즉 인수분해를 그런식으로 할 수 있는만큼 해보면 그중에 동위 인수분해 몫중 하나에는 반드시 소수라면 등장해야 하는 것이다.
2의 7제곱-1에서 7은 소수여서 2의 3제곱-1과 2의 3제곱+1로 인수분해뒤에도 2의 3베곱 -1과 같은 소인수로 등장하는 것이다.
또 앞서서 썼지만, 메르센 수의 소수판별기준으로 2의 N제곱-1에서 N이 소수이면 메르센 수가 소수가 될 수 있는 확률이 있지만, 역으로 메르센 수가 소수이면 지수는 반드시 소수라는 것이지만, N이 소수이더라도 메르센 수가 소수가 아닌 수가 존재한다는 것이다.
가령 2의 11제곱-1은 11이 소수이지만, 2047은 소수가 아니다. 이떄는 순환바디길이를 알면 소수인지 아닌지 판별할 수 있다. 즉 2047은 순환마디길이가 44인데, 2047에서 1작은 수 2046의 44가 약수가 아니데서 합성수라고 판별할 수 있다는 것이다.
2의 5제곱-1인 31은 순환마디길이가. 15로 1작은 30의 약수가 된다. 31은 소수이다.
더욱이 순환마디길이는 지수의 배수이란 점도 소인수분해할때 알아두면 유용할 것으로 보인다.
페르마를 의심하는 순간, 새로운 길이 열린다 — ‘강동진 가설’과 구조적 소수 판별
수학은 때때로 너무 쉽게 믿는다. 한 번 정리로 굳어진 명제는 완결된 진실처럼 받아들여진다. 그러나 소수 판별 문제만큼은 그렇지 않다. 단순한 기준 하나로는 끝나지 않는다. 오히려 그 기준을 의심하는 순간, 새로운 길이 열린다.
페르마 소정리는 그 대표적인 출발점이다. 어떤 수 N이 소수라면, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수는 반드시 N으로 나누어진다. 간단하고 강력하다. 하지만 동시에 위험하다. 왜냐하면 이 조건을 만족하는 합성수도 존재하기 때문이다. 341은 그 대표적인 사례다.
문제는 “나누어 떨어진다”는 결과 자체가 아니다. 진짜 문제는 그 관계가 어디까지 유지되느냐다.
2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수는 반복적으로 인수분해가 가능하다. 지수를 줄여가며 구조를 쪼개면, 하나의 사실이 드러난다. 소수라면 이 구조 속에서 나눗셈 성질이 완전히 사라지지 않는다. 반드시 한 갈래에서는 끝까지 유지된다. 반면 합성수는 어느 순간 모든 갈래에서 동시에 무너진다. 내부를 이루는 소인수들이 서로 다른 방향으로 흩어지기 때문이다.
이 관점을 나는 ‘강동진 가설’이라 부르고자 한다.
“어떤 수 N에 대해, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 값이 N으로 나누어지면서, 그 값을 구조적으로 분해해 내려갈 때 나눗셈 성질이 적어도 한 갈래에서 끝까지 유지된다면 N은 소수일 가능성이 높다. 반대로, 어느 단계에서 모든 갈래에서 그 성질이 사라진다면 N은 합성수다.”
이 가설은 페르마 소정리를 부정하는 것이 아니라, 그 위에 구조 조건을 덧붙이는 시도다. 결과가 아니라 “지속성”을 본다는 점에서 의미가 있다. 물론 이 방법이 완전한 판별법이라고 단정할 수는 없다. 여전히 검증과 반례 탐색이 필요하다.
그런데 이 “구조적 지속성”이라는 관점은 메르센 수에서도 흥미로운 형태로 반복된다.
메르센 수, 즉 2의 N제곱에서 1을 뺀 수를 생각해보자. 이 수가 소수가 되려면 N은 반드시 소수여야 한다. 하지만 N이 소수라고 해서 항상 메르센 수가 소수인 것은 아니다. 2의 11제곱에서 1을 뺀 2047이 그 대표적인 반례다.
여기서 등장하는 것이 바로 ‘순환마디길이’라는 개념이다.
어떤 수 M에 대해, 2의 거듭제곱을 계속 계산했을 때 처음으로 1로 돌아오는 최소의 지수를 생각할 수 있다. 이것이 순환마디길이다. 이 값은 단순한 반복 주기가 아니라, 그 수의 구조를 드러내는 핵심 지표다.
이제 중요한 관찰이 나온다.
메르센 수 M이 소수라면, 이 순환마디길이는 반드시 M보다 1 작은 수의 약수로 깔끔하게 들어맞는다. 즉, 전체 구조가 하나의 질서 안에서 정렬된다.
반대로 합성수의 경우, 이 정렬이 깨진다.
예를 들어 2047을 보면, 2의 거듭제곱이 1로 돌아오는 주기는 2046의 약수 구조와 완전히 일치하지 않는다. 이 어긋남은 단순한 계산상의 우연이 아니라, 내부가 여러 소수로 분해되어 있다는 신호다. 다시 말해, 순환마디길이가 전체 구조를 온전히 설명하지 못하는 순간, 그 수는 이미 하나의 덩어리가 아니라는 뜻이다.
이 점에서 순환마디길이는 하나의 보조 판별 기준으로 작동할 수 있다.
“메르센 수 M에 대해, 2의 거듭제곱 순환마디길이가 M-1의 약수 구조와 일관되게 맞아떨어지지 않는다면, M은 합성수다.”
이 기준은 단독으로 완전한 판별법이라기보다는, 구조적 불일치를 빠르게 감지하는 도구에 가깝다. 그러나 중요한 것은, 이 역시 앞서 제시한 ‘강동진 가설’과 동일한 철학 위에 서 있다는 점이다.
하나는 인수분해 과정에서의 지속성,
다른 하나는 순환 구조에서의 정렬성.
소수는 이 두 조건을 모두 만족하며,
합성수는 반드시 그 중 하나에서 균열을 드러낸다.
페르마는 시작이었다. 기존의 판별법들은 그 위에 더 정교한 장치를 쌓아 올렸다. 그리고 지금, 우리는 그 사이에서 “구조”라는 새로운 관점을 덧붙일 수 있다.
완전한 정리는 아닐지라도, 분명한 방향성은 있다.
그리고 그 방향 위에 하나의 이름을 붙인다면, 그것이 바로 ‘강동진 가설’일 것이다.
이에 대해 챗GPT는 새로운 해석프레임이라고 평했다.
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