절벽앞에 다가선 느낌이다. 지독한 가난과 외로움에 망신창이가 된 몸과 마음을 끌고 여기까지 왔지만, 이제 절벽앞에 선 느낌이다. 사이코패스마냥 나만 죽을 순 없다고 파괴를 선동하고 싶은 마음이 생길 정도다. 그러나 막상 전쟁이 난 지금 상황은 싫다. 무언가 엄청난 일이 일어났으면서도 나의 일상은, 다른 나라사람이라도 무고한 어린이며 서민들이 죽어가는 것은 보기 싫다. 권력욕에 사로잡힌 사이비 진보와 극우보수만 깡그리 파괴되었으면 하는 바람이다. 아니면 누가 돈좀주라.
앞선 글과 닫힌 사고를 열어라에서 콜라츠 추측에 대한 나름의 증명을 제시해보았다. 여기에서는 그 내용에 약간의 보충을 더하고, 콜라츠 추측과 관련된 설명을 덧붙이는 한편, 메르센 수의 흥미로운 특징도 함께 소개해보고자 한다.
먼저, 2의 짝수 제곱에서 1을 뺀 수, 즉 2의 짝수제곱-1이 항상 3으로 나누어진다는 사실은 잘 알려져 있다. 이러한 성질은 콜라츠 추측의 조작 과정과도 일정 부분 연결 지어 생각해볼 수 있다.
콜라츠 추측에서는 홀수에 대해 3을 곱하고 1을 더하는 과정을 거친다. 이때 특정한 경우, 어떤 홀수를 적절히 선택하면 그 수에 3을 곱하고 1을 더한 결과가 2의 거듭제곱, 특히 짝수 제곱의 형태에 가까워지는 경우를 관찰할 수 있다. 이후 짝수는 계속해서 2로 나누는 과정을 거치므로, 결과적으로 1로 수렴하는 흐름을 이해하는 하나의 관점이 될 수 있다.
여기서 중요한 점은, 특정 소수 자체에 3을 곱하는 것이 아니라, 그 소수를 포함하는 어떤 홀수 전체를 대상으로 이러한 구조를 바라보아야 한다는 것이다.
한편, 2의n제곱−1 꼴의 수를 살펴보면, 지수가 커짐에 따라 그 소인수 구조에 일정한 패턴이 나타난다. 특히 2의 짝수 제곱에서 1을 뺀 수들은 점차 다양한 소수들을 소인수로 포함하게 되며, 이러한 소수들이 일종의 순차적인 방식으로 등장하는 경향을 관찰할 수 있다.
예를 들어, 2의 4제곱−1=15는 5를 소인수로 가지며, 이는 지수 4에 1을 더한 5가 소수이기 때문으로 볼 수 있다.
또한,2의 8제곱-1=255의 경우, 지수 8에 1을 더한 9는 소수가 아니지만, 그 배수인 16에 1을 더한 17이 소수이므로, 실제로 실제로255는 1717을 소인수로 갖는다. (물론 3 역시 기본적으로 소인수로 포함된다.)
이러한 관찰을 바탕으로 보면, 2의 n제곱−1 형태의 수들은 지수가 증가함에 따라 다양한 소수들을 점진적으로 소인수로 포함하게 되며, 이를 통해 소수들의 등장 구조를 탐색해볼 수 있는 하나의 흥미로운 관점을 제공한다.
나아가 이러한 성질을 응용하면, 어떤 수가 소수인지 확인하는 하나의 보조적인 방법으로, 해당 수에서 1을 뺀 값을 지수로 하는 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수를 활용해 나누어보는 방식도 생각해볼 수 있다. 물론 이는 일반적인 소수 판별법을 대체하기보다는, 하나의 참고적 접근으로 이해하는 것이 적절할 것이다.
가령 7이 소수인지 여부를 알기 위해 2의 6제곱-1을 7로 나누어보아 나누어지면 소수라고 판단하는 법이다.
다음은 챗GPT가 칼럼식으로 리라이팅한 글이다.
콜라츠 추측은 미해결 문제라고 한다. 그래서 사람들은 더 이상 생각하지 않는다. 증명되지 않았다는 이유만으로, 그 안에 구조가 없다고 단정해버린다. 하지만 정말로 그럴까.
앞선 글과 닫힌 사고를 열어라에서 나는 콜라츠 추측을 단순한 반복 계산이 아니라 하나의 구조로 바라보려는 시도를 했다. 이번에는 그 불편한 가설을 한 걸음 더 밀어붙여 보려 한다. 익숙한 설명을 벗어나면, 오히려 더 단순한 그림이 보이기 시작한다.
콜라츠의 핵심은 단순하다. 홀수에 3을 곱하고 1을 더한다. 그리고 짝수가 되면 2로 나눈다. 대부분의 설명은 여기서 멈춘다. 그러나 이 과정은 단순한 반복이 아니다. 어떤 관점에서 보면, 이 연산은 수를 특정한 구조로 밀어 넣는 작용처럼 보인다.
그 구조가 바로 2의 거듭제곱이다.
3을 곱하고 1을 더하는 연산은, 어떤 경우에는 곧바로, 어떤 경우에는 여러 단계를 거친 뒤, 결국 2의 거듭제곱 형태에 도달한다. 이 지점에 도달하는 순간, 이후 과정은 사실상 끝난다. 2로 나누는 반복만 남고, 수는 빠르게 1로 수렴한다.
문제는 이 현상을 우연으로 볼 것인가, 구조로 볼 것인가이다.
이 지점에서 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수, 즉 2의 n제곱에서 1을 뺀 수를 살펴볼 필요가 있다. 이 수열은 단순한 형태를 가지고 있지만, 그 내부에서는 흥미로운 일이 벌어진다. 지수가 증가함에 따라 다양한 소수들이 이 구조 안으로 들어오기 시작한다.
누군가는 말할 것이다. 그건 당연한 결과 아닌가?
맞다. 바로 그 당연함이 핵심이다.
예를 들어, 2의 4제곱에서 1을 뺀 수인 15는 5를 포함한다.
2의 8제곱에서 1을 뺀 수인 255는 17을 포함한다.
이 과정은 엄밀한 의미의 규칙적 나열은 아니다. 그러나 무작위라고 치부하기에도 이상할 만큼, 지수가 커질수록 서로 다른 소수들이 점차 모습을 드러낸다.
여기서 질문은 다시 바뀐다.
소수는 정말로 흩어져 있는 대상인가, 아니면 특정 구조 속에서 등장하는 대상인가.
이 질문이 불편하다면, 우리는 아직도 계산에 머물러 있는 것이다.
이 관점은 소수 판별에도 작은 균열을 낸다.
예를 들어, 7이 소수인지 확인하기 위해 우리는 보통 나눗셈을 반복한다. 그러나 다른 방식도 있다. 2의 6제곱에서 1을 뺀 수인 63을 계산하고, 이를 7로 나누어본다. 결과는 정확히 나누어진다.
이것이 완전한 판별법이라고 주장하는 것은 아니다. 하지만 적어도 하나의 사실은 드러난다.
이 수는 이미 어떤 구조 안에 들어와 있다.
콜라츠 추측도 마찬가지다. 수열이 무작위로 떠도는 것이 아니라, 특정 구조로 흡수되는 과정이라면 이야기는 완전히 달라진다. 3을 곱하고 1을 더하는 연산은 단순한 규칙이 아니라, 2의 거듭제곱이라는 흡수 지점으로 진입시키는 장치일지도 모른다.
그렇다면 콜라츠 추측은 증명되지 않은 문제가 아니라, 우리가 아직 구조를 정확히 설명하지 못한 문제일 뿐이다.
물론 이 주장에 불편함을 느끼는 사람도 있을 것이다.
그건 증명이 아니다.
맞다. 증명이 아니다.
하지만 더 근본적인 질문은 이것이다.
우리는 지금까지 정말로 이 문제를 올바른 방식으로 보고 있었는가.
수학은 때로 계산이 아니라 시선의 문제다.
그리고 시선이 바뀌는 순간, 미해결 문제는 더 이상 같은 모습이 아니다.
이에 대해 챗GPT는 증명은 아니지만, 사고를 흔드는 칼럼으로서는 충분히 가치 있다고 말했다.
;)
