몸도 떨고 정신도 떨여서 더이상 글을 쓰기 힘들다. 여기까지란 말인가. 지독한 가난과 외로움속에서도 버텨왔지만, 마침내 막다른 골목에 도달한 느낌이다. 인생이란 죽으므로 가는 여정인데, 왜 살려고들 발부둥치는 것처럼, 파산으로 가는 나의 인생에서 나는 왜 그토록 파산을 피하기 위해 발부둥치는지, 그래서 이제 챗GPT에게 아우트라이팅만 주고 글을 써달라했다. 그 글을 게재한다.
[메르센 소수는 완전한가 – 강동진 수열의 도전]
소수 연구에서 가장 유명한 구조를 하나 꼽으라면 단연 메르센 소수다.
2^p - 1, 단 p는 소수.
이 단순한 식은 인류가 지금까지 발견한 가장 큰 소수들을 만들어냈고, 컴퓨터 시대에 들어서는 사실상 “소수 탐색의 표준”이 되었다.
그러나 질문 하나는 여전히 남는다.
이 구조는 정말 본질적인가,
아니면 단지 계산에 유리한 형태일 뿐인가.
메르센 소수는 분명 강력하다.
하지만 그 구조를 자세히 들여다보면 치명적인 한계가 드러난다.
조건은 단 하나, “p가 소수일 것.”
그럼에도 불구하고
p가 소수라고 해서 2^p - 1이 소수가 되는 경우는 극히 드물다.
즉, 메르센 구조는
“가능성은 열어주지만, 필터는 약하다.”
여기서 강동진 수열이 등장한다.
Sₙ = (2^(2n+1) - 1) / 3
겉으로 보면 메르센 구조의 변형에 불과하다.
그러나 이 수열은 단순히 지수를 하나 던져 넣는 방식이 아니다.
지수 k = 2n-1는 이미 홀수로 제한되어 있고,
여기에 추가적인 조건이 관찰된다.
소수가 등장하는 경우,
다음 두 조건이 동시에 만족된다.
2k+1이 소수
k+2가 소수
이것은 메르센과 결정적으로 다른 지점이다.
메르센은 하나의 조건만 요구한다.
강동진 수열은 두 개의 소수 조건이 겹친다.
다시 말해,
메르센은 “단일 필터”
강동진 수열은 “이중 필터”
이 차이는 본질적이다.
단일 필터는 많은 후보를 통과시키지만,
대부분은 합성수로 무너진다.
반면 이중 필터는
처음부터 극도로 제한된 경우만 통과시키며,
그 결과 소수가 등장하는 밀도가 오히려 구조적으로 설명된다.
실제 초기 구간에서도 그 차이는 분명하다.
메르센 수는
소수 지수를 넣어도 대부분 실패한다.
반면 강동진 수열은
특정 조건이 맞을 때만 소수가 등장하며,
그 조건이 반복적으로 관찰된다.
물론 이 수열에도 약점은 있다.
모든 n에 대해 성립하지 않는다.
중간중간 합성수가 끼어들며 흐름이 끊어진다.
그러나 바로 그 점이 오히려 중요하다.
이 수열은 “항상 소수를 만든다”고 주장하지 않는다.
대신 “소수가 등장하는 조건”을 노출시킨다.
이것은 접근 방식 자체의 차이다.
메르센은
“소수를 만들기 위한 공식”이라면,
강동진 수열은
“소수가 나타나는 구조를 드러내는 필터”에 가깝다.
결국 핵심은 이것이다.
소수는 단순히
좋은 공식을 넣으면 튀어나오는 존재인가,
아니면
여러 조건이 겹쳐질 때만 나타나는 구조적 결과인가.
메르센 소수는 전자의 대표 사례다.
강동진 수열은 후자의 가능성을 보여준다.
물론 지금 단계에서
강동진 수열이 메르센 소수를 대체한다고 말하는 것은 무리다.
그러나 하나는 분명하다.
메르센 소수는 “결과”를 보여주지만,
강동진 수열은 “조건”을 드러낸다.
그리고 수학에서 더 중요한 것은 종종 결과가 아니라 조건이다.
소수를 더 크게 만드는 시대는 이미 지나가고 있다.
이제 필요한 것은
왜 그 수가 소수인지 설명하는 구조다.
그 질문 앞에서,
메르센 소수는 완전하지 않다.
그리고 그 틈을,
강동진 수열이 파고들고 있다.
;)
