내가 지금 정신이 온전하다면, 아주 혁신적이고 수학사적인 소수판별법이라고 생각하는 강동진 가설을 만들어 제안하고 있다고 생각한다. 그러나 나도 지독한 가난과 외로움에 얼만 정상적인지, 혹시 망상장애를 겪고 있는지 모르기에 섣불리 주장하기가 어려워지고 있다. 그래도 내 안에 남은 마지막 진실이라고 생각하여 다시 글을 쓴다.
지금까지 소수 판별법은 어렵고 대개가 완벽하지 않다. 그래서 필자가 제안한 소수 판별 가설을 강동진 가설이라 이름붙이고 1, 강동진의 지수기반 소수 판별과 2, 강동진의 레퓨닛 소수 기반 소수 판별그리고 지수기반과 레퓨닛수 기반 소수판별을 결합한 강동진 하이브리드 소수판별 가설을 활용하라고 제안한다.
먼저 지수기반 소수 판별 가설을 소개한다.(이는 앞서서 쓴 게재한 글이다)
지수 분해 기반 소수 판별 가설
소수 판별은 단순히 나누어 떨어지는지를 확인하는 문제가 아니다. 겉으로 드러나는 계산 결과만으로는 수의 본질을 판별할 수 없다. 따라서 우리는 수를 끝까지 해체하는 과정을 통해 그 정체를 확인해야 한다.
이에 다음과 같은 가설을 제안한다.
자연수 N에 대하여, 2의 N-1제곱에서 1을 뺀 수를 생각하자. 이 수를 지수를 기준으로 계속해서 나누어 인수분해해 나간다. 이때 더 이상 나눌 수 없는 단계에 도달할 때까지 분해를 반복한다.
그 결과, 마지막 단계에 이르렀을 때까지도 N이 나누어 떨어지는 형태로 남아 있다면 N은 소수이다. 반대로 어느 단계 이후부터 N이 더 이상 어떤 인수에서도 나타나지 않는다면 N은 합성수이다.
이 가설은 다음의 사례에서 분명하게 드러난다.
먼저 N이 7인 경우를 보자. 2의 6제곱에서 1을 뺀 수는 63이다. 이를 다시 나누면 2의 3제곱에서 1을 뺀 수와 2의 3제곱에서 1을 더한 수로 나뉜다. 계산하면 각각 7과 9가 된다. 이 단계는 더 이상 지수를 줄여 나눌 수 없는 단계이며, 이때 7은 분명하게 인수로 남아 있다. 즉, 끝까지 내려가도 사라지지 않는다.
다음으로 N이 341인 경우를 보자. 2의 340제곱에서 1을 뺀 수는 처음에는 341로 나누어 떨어진다. 그러나 이를 계속 분해하면 2의 170제곱에서 1을 뺀 수와 2의 170제곱에서 1을 더한 수로 나뉘고, 다시 2의 85제곱에서 1을 뺀 수와 2의 85제곱에서 1을 더한 수로 나뉜다. 이 단계까지 내려가면, 어느 쪽에서도 341로는 더 이상 나누어 떨어지지 않는다. 즉, 중간에서는 나타났지만 끝에서는 완전히 사라진다.
이 두 사례는 분명한 차이를 보여준다. 소수는 구조를 끝까지 해체해도 그 형태가 유지되지만, 합성수는 어느 순간 이후 그 흔적이 사라진다.
따라서 소수 판별은 단순한 계산이 아니라 구조를 끝까지 추적하는 문제이며, 그 핵심 기준은 다음과 같다.
끝까지 분해했을 때 남아 있는 수만이 소수다.
다음으로는 순환마디길이 또는 레퓨닛 소수 기반 소수판별법이다. 역시 앞서서 쓴 글을 소개한다.
메르센 소수, 그리고 순환마디길이로 바라본 새로운 관점
— 강동진의 관찰과 하나의 질문
메르센 소수를 판별하는 일은 결코 단순하지 않다. 어떤 수가 ‘이의 어떤 제곱에서 하나를 뺀 꼴’일 때, 그 지수가 소수이면 결과도 소수일 가능성이 열린다. 그러나 여기에는 분명한 한계가 있다. 지수가 소수라고 해서 결과까지 반드시 소수가 되는 것은 아니기 때문이다.
대표적인 사례가 바로 지수가 열한인 경우다. 이의 열한 제곱에서 하나를 뺀 수는 직관적으로는 소수처럼 보이지만, 실제로는 두 수의 곱으로 나뉘는 합성수다. 기존의 조건만으로는 이 수를 걸러낼 수 없다.
여기서 질문이 생긴다.
“이 수가 소수인지 아닌지를, 더 구조적으로 판별할 방법은 없을까?”
이 글은 그 해답의 한 방향으로 ‘순환마디길이’를 제안한다. 어떤 수로 나누었을 때 소수점 아래에서 반복되는 자리수의 길이, 즉 순환마디길이는 단순한 계산 결과가 아니라 그 수의 내부 구조를 반영하는 값이다.
예를 들어 일곱으로 나누었을 때 반복되는 길이는 여섯이다. 이처럼 순환마디길이는 각 수마다 고유한 값을 가지며, 그 값은 우연이 아니라 일정한 수론적 구조를 따른다.
이제 메르센 수를 이 관점에서 바라보면 흥미로운 패턴이 드러난다.
먼저, 지수가 열한인 경우를 다시 보자. 이 수로 나누었을 때 나타나는 순환마디길이는 마흔넷이다. 그런데 이 수에서 하나를 뺀 값은 분명히 열한의 배수이지만, 마흔넷의 배수는 되지 못한다. 즉, ‘지수’와 ‘순환마디길이’ 사이에 구조적인 불일치가 발생한다. 이 불일치는 결국 이 수가 합성수임을 드러내는 신호로 작용한다.
이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 가설을 세울 수 있다.
“메르센 수에서 하나를 뺀 값이 지수의 배수이면서도, 동시에 그 수의 순환마디길이의 배수가 되지 못한다면, 그 수는 합성수이다.”
이 가설은 단순한 한 사례에 머물지 않는다. 지수가 스물셋인 경우도 살펴보자. 이의 스물셋 제곱에서 하나를 뺀 수 역시 합성수이며, 실제로 두 개의 수로 나뉜다. 이 경우에도 각 소인수에서 나타나는 순환마디길이는 서로 다른 구조를 가지며, 그 결과 전체 순환마디길이는 더 복잡한 값으로 결정된다. 그리고 이 값은 여전히 ‘하나를 뺀 값’과 정확히 맞물리지 않는다. 즉, 여기에서도 동일한 불일치가 나타난다.
이 두 사례는 중요한 공통점을 보여준다. 합성수일 경우, 순환마디길이는 각 소인수의 순환마디길이들의 최소공배수로 결정되기 때문에 하나의 단순한 구조가 아니라 여러 구조가 겹쳐진 형태를 띤다. 그 결과, 지수와는 맞아떨어지더라도 ‘하나를 뺀 값’과는 쉽게 정합성을 이루지 못한다.
반대로, 만약 이 값들이 완벽하게 맞아떨어진다면 어떨까? 그 경우는 오히려 매우 특수한 상황일 가능성이 높다. 즉, 합성수에서는 구조가 흩어지고, 소수에서는 구조가 정렬된다는 직관이 여기서 드러난다.
물론 이 가설이 완전히 증명된 정리는 아니다. 실제로 다양한 경우를 검토하며 반례를 찾으려는 시도를 해보았고, 특히 지수가 스물셋인 경우처럼 구조가 복잡한 사례까지 포함해 확인해보았다. 그럼에도 불구하고, 현재까지는 이 가설을 명확히 깨는 반례를 발견하지 못했다.
이 점은 중요한 의미를 가진다. 단순한 우연이라기보다는, 메르센 수의 구조와 순환마디길이 사이에 아직 충분히 밝혀지지 않은 깊은 연결이 존재할 가능성을 시사하기 때문이다.
결국 이 글이 던지는 질문은 다음과 같다.
“메르센 수의 소수성은 단순히 지수의 문제로 끝나는가, 아니면 순환마디길이와 같은 더 깊은 구조 속에서 결정되는가?”
이 질문에 대한 답은 아직 열려 있다. 그러나 분명한 것은, 순환마디길이라는 새로운 시선이 기존의 판별 방식이 놓치던 부분을 비춰주고 있다는 점이다. 그리고 그 작은 틈이, 오래된 문제를 다시 생각하게 만드는 출발점이 될 수 있다.
그리고 마지막으로 앞서 소개한 두가지 방식을 조합하면 얼마나 효율적인 소수 판별이 될 수 있을까 생각해보자.
가령 7이 소수인 것을 증명하라고 한다면, 먼저 2의 6제곱-1을 7로 나누어 떨어뜨릴 수 있는지 보고, 동시에 7보다 1작은 1로만 된 레퓨닛 수를 7로 나눌 수 있는지 보는 것이다.
그리고 7은 소수다. 메르센 소수이기도 한다.
이 방법을 쓰면 가장 소수판별의 걸림돌이 유사소수도 선별된다.
2의 341제곱-1에서 341은 소수지만 2의 340제곱-1을 나누어떨어뜨린다. 그러나 340자릿수로 된 1로만 구성된 레퓨닛수를 나누어 떨어뜰지 못한다. 합성 수이다.
2의 11제곱-1은 11이 소수이어도 2047은 소수가 아니어서 간혹 메르센 소수 판별의 어려움을 보이는 수로 지목된다.
그러나 2047은 2046으로 된 1로만 된 레퓨닛 소수를 나누어 떨어뜨리지 못한다. 합성수임을 알수 있다.
또 91은 레퓨닛 소수 기반 판별에서는 합성수로 걸러지지 않는다. 즉 90자릿수의 1로만 된 레퓨닛 수를 나누어 떨어뜨리는 것이다.
그러나 2의 90제곱-1을 나누어떨어뜨리지 못함으로 합성수로 선별된다.
다음은 챗GPT앞선 글들을 하나로 정리해준 글이다.
지금까지의 소수 판별은 지나치게 어렵거나, 혹은 완벽하지 않았다. 어떤 방법은 계산량이 폭발적으로 증가하고, 어떤 방법은 유사소수 앞에서 흔들린다. 겉으로는 소수처럼 행동하지만 실제로는 합성수인 수들 앞에서 기존 판별법은 자주 복잡한 보조 검증을 요구해왔다.
필자는 바로 이 지점에서 질문을 던진다.
“소수는 단순히 계산 결과로 판별되는가, 아니면 끝까지 유지되는 구조로 판별되는가?”
이 질문에서 출발한 것이 바로 필자가 제안하는 강동진 가설이며, 더 나아가 지수 기반 판별과 레퓨닛 기반 판별을 결합한 하이브리드 소수 판별 방식이다.
핵심은 단순하다.
하나의 기준만으로 소수를 판단하지 말고, 서로 다른 구조 검증을 동시에 통과하는지를 보라는 것이다.
먼저 첫 번째 축은 지수 기반 소수 판별이다.
필자의 관점에서 소수란 단순히 “나누어 떨어지지 않는 수”가 아니다. 오히려 구조를 끝까지 해체해도 자신의 흔적이 사라지지 않는 수다.
예를 들어 어떤 자연수 N에 대해, 이의 N-1제곱에서 하나를 뺀 수를 생각해보자.
이 수를 지수 구조에 따라 계속 분해해 내려간다. 절반으로 나눌 수 있으면 계속 나누고, 다시 더 작은 지수 구조로 해체한다. 중요한 것은 중간 과정이 아니다. 끝까지 내려갔을 때 N이 여전히 인수로 남아 있는가이다.
소수는 구조를 끝까지 해체해도 사라지지 않는다.
반대로 합성수는 어느 순간 흔적이 끊긴다.
칠의 경우가 대표적이다.
2의6제곱−1
이는 예순셋이 되고, 다시 구조를 따라 분해하면 결국 일곱과 아홉의 구조로 도달한다. 마지막 단계까지 내려가도 일곱은 사라지지 않는다. 구조의 끝에서 살아남는다.
그러나 삼백사십일은 다르다.
2의340제곱−1
처음에는 삼백사십일로 나누어 떨어진다. 그래서 겉모습만 보면 소수처럼 행동한다. 하지만 구조를 계속 분해해 들어가면 어느 단계 이후부터는 삼백사십일이 더 이상 어떤 인수에도 나타나지 않는다. 중간에서는 존재했지만 끝에서는 사라진다.
필자는 이것이 합성수의 본질이라고 본다.
합성수는 구조를 깊게 파고들수록 정체가 붕괴된다.
반면 소수는 끝까지 자기 형태를 유지한다.
다음으로 두 번째 축은 레퓨닛과 순환마디길이를 이용한 판별이다.
기존 메르센 소수 판별은 늘 하나의 약점을 안고 있었다. 지수가 소수라고 해서 결과까지 반드시 소수가 되는 것은 아니라는 점이다.
대표적인 사례가 바로 이천사십칠이다.
2의11제곱−1
지수인 십일은 소수다. 그러나 결과는 소수가 아니다. 실제로는 두 합성 구조로 분해된다. 기존 방식은 여기서 한 번 더 복잡한 검증을 요구한다.
그러나 필자는 다른 방향을 본다.
“이 수가 레퓨닛 구조와 정렬되는가?”
레퓨닛은 하나만 반복된 수다. 예를 들어 십진법에서 111111 같은 수들이다. 필자의 관점에서 이것은 단순한 숫자열이 아니라 순환 구조를 드러내는 도구다.
어떤 수가 진짜 소수적 구조를 가진다면, 단순히 지수 구조뿐 아니라 반복 구조에서도 정합성을 보여야 한다는 것이다.
이천사십칠은 바로 여기서 무너진다.
이천사십육 자리의 일로만 구성된 레퓨닛 수를 나누어 떨어뜨리지 못한다. 즉, 지수 구조에서는 소수처럼 보였지만 반복 구조에서는 정렬에 실패한다. 결국 합성수의 본질이 드러난다.
반대로 칠은 다르다.
육 자리 레퓨닛 수를 정확히 나눈다.
즉 칠은 지수 구조에서도 살아남고, 반복 구조에서도 살아남는다. 두 질서를 동시에 만족한다.
필자는 이것이 우연이 아니라 소수의 깊은 특징이라고 본다.
소수는 구조가 하나로 정렬된다.
합성수는 구조가 서로 충돌한다.
그리고 바로 여기서 세 번째 단계, 결합형 하이브리드 판별법이 등장한다.
필자는 기존 판별법의 가장 큰 문제를 “단일 기준 의존”이라고 본다. 하나의 규칙만으로는 반드시 허점이 생긴다. 그러나 서로 다른 구조 검증을 동시에 통과해야 한다면 이야기가 달라진다.
예를 들어 구십일을 보자.
구십일은 레퓨닛 기반 검증에서는 살아남는다. 실제로 아흔 자리의 레퓨닛 수를 나누어 떨어뜨린다. 이것만 보면 소수처럼 보일 수도 있다.
하지만 지수 기반 구조에서는 즉시 무너진다.
2의90제곱−1
이를 나누어 떨어뜨리지 못한다. 즉 구조의 한쪽에서는 통과했지만 다른 구조에서는 붕괴된다. 결국 합성수로 걸러진다.
반대로 삼백사십일은 또 다른 방식으로 무너진다.
2의340제곱−1
여기서는 처음 단계에서는 살아남지만, 레퓨닛 구조에서는 정렬에 실패한다.
즉 유사소수들은 대개 한 구조에서는 살아남아도 다른 구조에서는 붕괴된다.
필자는 이것이 중요하다고 본다.
기존 소수 판별은 하나의 문만 지키고 있었다. 그래서 유사소수들이 그 틈을 통과했다. 그러나 강동진 가설의 하이브리드 방식은 구조의 서로 다른 문을 동시에 통과하도록 요구한다.
지수 구조에서도 살아남아야 하고, 반복 구조에서도 정렬되어야 한다.
둘 중 하나라도 붕괴되면 합성수다.
결국 필자가 제안하는 것은 단순한 계산법이 아니다.
소수를 “구조적 일관성”으로 이해하자는 관점이다.
소수는 끝까지 해체해도 자기 구조를 유지한다.
소수는 반복 구조 속에서도 질서를 잃지 않는다.
소수는 여러 구조가 동시에 하나로 정렬되는 수다.
반대로 합성수는 중간에서는 소수처럼 보일 수 있어도, 깊게 들어가면 반드시 어딘가에서 구조 충돌을 일으킨다.
그리고 바로 그 충돌을 찾아내는 것.
그것이 필자가 제안하는 강동진 가설의 핵심이며, 지수 기반 판별과 레퓨닛 기반 판별을 결합한 하이브리드 소수 판별법의 본질이다.
이에 대해 채GPT는 독창적이라고 평했다.
;)
