어디까지 추락할 것인가. 지독한 가난과 외로움 현실적인 채무 부담은 나를 추락하게 한다. 나보다, 사회를 변화시키겠다는 사람들은 자기가 변하줄 모르고 세상이 변했다고 한다. 특히 자기 자신이 사이비 진보주의인지 모르고, 자기와 맞지 않으면 변절자라고 한다. 그래도 난 쓰련다. 세상과 타협을 하더라도 글은 진실이라고 생각하고 쓰련다. 소수가 무한하다는 것은 누구가 아는 사실이다. 그리고 소수가 무한다는 근거로 유클리드법 등이 대표적으로 활용된다.
소수가 무한하다는 것을 증명하는 법은 다양한 방법이 있을 수 있다. 그래서 더 많은 이가, 심지어 고등학생 나아가 초등학생도 이해할 수 있는 방법을 찾아가는 노력을 계속 해야 할 것이다. 다양한 증명법은 마침내 수학적 사고를 넓혀주는 일이기도 해서, 다양한 방법으로 증명할 수 있는 것은 큰 이득이 된다.
필자의 저서 닫힌 사고를 열어라는 책에서 소개되었듯이 소수의 무한성을 증명하는 법으로 소수란 2를 제외하고 홀수중에서 다른 홀수와 홀수간의 곱이 아닌 수들로 정의하면 쉽게 그 방법을 쉽게 찾을 수 있다고 생각한다.
어쩌면 나는 유클리드법보다도 더 기초적인 증명법이 될 수 있다고 생각하는 것이다.
그래서 모든 홀수2n+1=두홀수간의 곱(2m+1)(2L+1)로 등식이 항등식이냐 아니냐를 비교하면 되는 것이다. 그리고 LMN이 숫자가 커진다해서 이 식이 변화되는 것인지 따져본면 된다.
이 식은 n=2mL+m+L로 정리된 식이 될 수 있다.
그러면 다시 n=m(2L+1)+L이 되고, 우변의 식을 가만히 들려다보면, 이식은 곱(교집합)이 들어있는 식으로 N집합을 모두 표현할 수 없다는 것을 알 수 있다.
이해가 안되면, m을 뺴고서 2L+1+L은 L에 어떤 수를 대입해도 모든 자연수를 표현할 수 없는 것은 쉽게 알 수 있다. 3L+1이니까 말이다. 3의 배수로 커져가니까 말이다.
합의 연산은 합집합을 나타낼 수 있지만, 곱의 연상는 교집합을 나타내는 것이라는 것은 다 아는것 아닌가. 즉 1을 제외한 3부터 모든 홀수간의 곱은 모두가 교집합이고, 잔연수는 합집합이라것을 알 수 있다.
홀수는 2의 가견으로 계속 나타나지만, 홀수 합성수는 3의 배수간격, 5의 배수간격, 7의 배수 가격으로 나타는 것을 생각해보라는 것이다.
그리고 더 중여하게는 홀수 곱하기 홀수에 1을 더한 수를 생각해보라는 것이다. 이 수는 앞의 식을 다시 보자. 2N+1은 (2m+1)(2L+1)인 수가 아닌 수를 찾는 건데, 우변에 더하기 1을 한 수를 보자는 것이다.
그러면 이식은 2N=(2m+1)(2L+1)이 되어 좌변은 짝수인데, 우변은 홀수가 되는 것이다. 이 식은 항등식이 아닐 수 있는 것이다.
다음은 챗GPT의 도움을 받아 리라이팅한 글이다.
소수는 끝이 있는가 — ‘곱에서 벗어나는 수’의 이야기
소수가 무한하다는 사실은 널리 알려져 있다. 그러나 그 증명은 종종 어렵고 낯설게 느껴진다. 우리는 여기서 조금 다른 관점, 보다 직관적인 시선에서 이 문제를 바라보려 한다. 핵심은 단 하나다. “합성수는 만들어지지만, 어떤 수는 그 구조를 벗어난다”는 점이다.
먼저 출발은 단순하다. 2를 제외한 모든 소수는 홀수이며, 모든 홀수는 2n+1의 형태로 나타낼 수 있다. 이때 중요한 사실은, 홀수인 합성수는 반드시 홀수와 홀수의 곱으로 만들어진다는 점이다. 즉, 이미 존재하는 수들을 재료로 삼아 만들어진 결과물이다.
이 말은 곧 합성수는 ‘패턴’ 속에 존재한다는 뜻이다. 예를 들어 3의 배수, 5의 배수, 7의 배수와 같은 간격 속에서 계속 등장한다. 어떤 수가 합성수라는 것은 결국, 이전에 존재하던 수들의 곱의 구조 안에 들어간다는 의미다. 다시 말해, 합성수는 새롭게 등장하는 것이 아니라, 이미 있는 것들의 반복과 결합으로 만들어진다.
이제 질문을 던져보자. 그렇다면 이 모든 곱의 구조를 한꺼번에 모아 놓으면, 세상의 모든 수를 다 설명할 수 있을까?
여기서 하나의 간단하지만 결정적인 생각이 등장한다. 지금까지 알고 있는 소수들을 모두 모아서 하나의 덩어리로 만든 뒤, 거기에 1을 더한 수를 생각해보는 것이다.
이렇게 만들어진 수는 매우 이상한 성질을 가진다. 기존에 사용했던 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 왜냐하면 그 모든 소수들의 곱에 1을 더했기 때문에, 나누면 항상 1이 남기 때문이다.
이 사실이 의미하는 바는 명확하다. 지금까지의 모든 ‘곱의 구조’, 즉 합성수를 만들어내던 틀로는 이 수를 설명할 수 없다는 것이다. 이 수는 그 구조 바깥에 있다.
그렇다면 선택지는 둘뿐이다. 이 수 자체가 소수이거나, 아니면 어떤 수로 나누어지는데 그 나누는 수는 지금까지 우리가 알고 있던 소수가 아니라는 것이다. 어느 쪽이든 결론은 같다. 지금까지의 목록에 없던 새로운 소수가 반드시 등장한다.
이제 논리는 완성된다. 소수를 아무리 많이 모아도, 그 전체를 기반으로 다시 하나의 수를 만들면, 그 구조를 벗어나는 새로운 소수가 다시 나타난다. 이 과정은 끝이 없다. 따라서 소수 역시 끝이 없다.
이 설명의 핵심은 단순하다. 합성수는 ‘곱으로 만들어지는 세계’에 속하지만, 우리는 언제든지 그 세계를 벗어나는 수를 만들어낼 수 있다. 그리고 그 바깥에는 언제나 새로운 소수가 기다리고 있다.
소수의 무한성은 어떤 복잡한 계산의 결과가 아니라, 구조를 만들고 그 구조를 한 번 비틀어버리는 아주 단순한 사고에서 비롯된다. 결국 수학이란, 패턴을 발견하는 일인 동시에, 그 패턴이 닿지 않는 지점을 찾아내는 일이기도 하다.
그리고 챗GPT는 이 글에 대해 “수학을 새롭게 보이게 만든 글”이다고 말했다.
;)
