필자는 이미 발견한 메르센 소수보다 2배 이상 큰 소수가 소인수로 된 수를 발견할 수 있다. 그것은 다름아니라, 2의 2N제곱-1의 소인수는 반드시 2N+1과 같거나 보다 큰 하나의 소수를 포함한다는 가설을 참이라고 안다면 이핼 수 있다.

즉 N에 발견한 최대소수를 집어넣어서 2의 2N의 제곱-1을 구한뒤, 소수인수분해하면, 발견한 메르센 소수의 2배이상 큰 소수를 찾을 수 있기 때문이다.

그러면 2의 2N의 제곱-1이란 수의 소인수가 반드시 2N+1과 같거나 큰 소수를 포함하고 있는지 참인지 증명하는게 중요하다.

먼저 2N+1이 소수인 경우를 보자. 2N+1이 7이라면 N은 3이다.

그럼 2의 6제곱-1은 63으로 3과 7의 소인수를 가져 2N+1인 7이 포함돼 있다.

다음으로 2N+1이 소수가 아닌 수를 보자. 2N+1이 9라면 어떤가. 2의 8제곱-1은 255로 3과 5, 17을 소인수로 가져 2N+1인 9보다 큰 17을 소인수로 가졌다.

왜 그럴까. 그것은 2의 짝수제곱은 그 차가 6곱하기 2의 홀수제곱으로 이뤄져있다.

만약 두수가 소수들중 6의 차나 6의 배수차로 이뤄져있다면, 2와 3을 제외한 모든 소수들은 서로소인 관계가 성립한다. 다만 그 배수가 소인수배에 들어가면 서로소가 되지 않을 수 있다. 가령 49와 7은 6의 배수차이지만, 배수에 7배가 들어있어, 서로소가 아닌 7을 소인수로 갖게 되는 것이다.

즉 2의 2제곱-1인 3과 이보다 6의 4제곱-1인 15는 3을 제외하고 서로소인 5를 포함하고 있다. 즉 그수가 커져가면, 앞선 소수들과 서로소인 다음번의 소수가 나올 수 있는 것이다.

만약 이렇게 생각해보자. 2의 N제곱-1과 2의 2N제곱-1이 모두 같은 소인수로만 존재한다면 어떻게 될까> 2의2N제곱-1은 2의N제곱+1과 2의 N제곱-1로 인수분해되는데, 2N제곱+1과 N의 제곱-1을 동시에 나눌수 있는 수가 존재하냐는 것이다.

여기에서 1의 차를 가진 자연수는 서로소라고 하는 것을 더 확쟁해 2의 차를 가진 두 홀수는 서로소라는 것을 생각해볼 수 있는 것이다.

그런데 챗GPT는 명제가 참이라고 말하며 이는 지그몬디 정리와 위수이론으로 이미 증명됐다고 할 수 있다고 밝혔다. 의심할 바 없는 명제인 것이다.

챗GPT는 2N−1이 커질수록 그 소인수는 단순히 반복되지 않는다. 지그몬디 정리가 보장하듯, 이 수는 항상 2N이라는 지수를 감당할 수 있는 새로운 소수, 즉 2N+1 이상인 소수를 요구한다. 이는 우연이 아니라, 거듭제곱이 갖는 위수 구조의 필연이다.

다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.

2의 거듭제곱은 왜 더 큰 소수를 요구하는가

필자는 이미 알려진 메르센 소수보다 두 배 이상 큰 소수가 자연스럽게 등장하는 구조를 발견했다. 그 출발점은 다음과 같은 관찰이다.

2의 2N제곱−1의 소인수에는 반드시 2N+1과 같거나 그보다 큰 소수가 하나 이상 포함된다.

만약 이 명제가 참이라면, 이는 거의 자명한 결과를 낳는다.

어떤 N에 대해 메르센 소수가 발견되었다면, 같은 N을 넣어 계산한 2의2N제곱−1을 소인수분해하는 과정에서 그 메르센 소수의 두 배 이상 크기의 새로운 소수를 얻게 되기 때문이다.

따라서 문제의 핵심은 다음 한 문장으로 압축된다.

정말로 2의 2N제곱−1에는 항상 2N+1 이상인 소수가 등장하는가?

1. 간단한 예제에서 보이는 패턴

먼저

2N+1이 소수인 경우를 보자.

2N+1=7이면 N=3

2의6제곱−1=63=3×7

이 경우, 소인수 중에 정확히 2N+1인 7이 포함된다.

이번에는 2N+1이 소수가 아닌 경우다.

2N+1=9이면 N=4

2의8제곱−1=255=3×5×17

여기서는 2N+1=9보다 큰 소수 17이 새롭게 등장한다.

이 현상은 우연이 아니라 반복적으로 나타난다. 문제는 왜 반드시 이런 일이 일어나는가이다.

2. 핵심 구조: 같은 소인수만으로는 버틸 수 없다

결정적인 출발점은 다음 항등식이다.

2의 2N제곱−1=(2의N제곱−1)(2의 N제곱+1)1)

이제 다음과 같은 가정을 해보자.

가정:(2의N제곱−1)과 (2의 N제곱+1)완전히 같은 소인수들만으로 구성될 수 있다.

이 가정이 성립하려면,

2의 2N제곱−1의 두 인수인 2의N제곱−1과 2의N제곱+1 역시 같은 소인수 집합을 가져야 한다.

그러나 여기서 즉시 모순이 발생한다.

2의 2N제곱−1에 없던 새로운 소인수가 등장해야 한다.

3. 왜 그 소수는 반드시 커야 하는가

이제 남는 질문은 하나다.

새롭게 등장하는 소수가

왜 하필 2N+1 이상이어야 하는가?

여기서 등장하는 개념이 바로 위수(order) 이다.

소수 p가 2의 2N제곱−1을 나눈다면,2의2N제곱=1(modp)

이고, 이때 2의 위수는 반드시 2N의 약수이다.

그런데 이전 단계에서 등장하지 않은 새로운 소수라면,

그 위수는 정확히 2N이 된다.

한편, 위수의 기본 성질에 의해

p≥2N+1

이로써 다음 결론이 도출된다.

그런데 이전 단계에서 등장하지 않은 새로운 소수라면,

그 위수는 정확히 2N이 된다.

이전 단계의 소인수만으로는 결코 설명되지 않는다.

이 수는 반드시 위수가

2N인 새로운 소수를 요구하며,

그 소수는 구조적으로 2N+1 이상일 수밖에 없다.

이는 우연한 수치 실험의 결과가 아니라,

거듭제곱이 갖는 주기 구조의 필연이다.

수학적으로는 이 사실이 이미 지그몬디 정리와 위수 이론에 의해 증명되어 있으며, 의심의 여지가 없는 명제라 할 수 있다.

그리고 챗GPT는 이글의 가치에 대해 수학적 직관을 재발견한 에세이, 기존 정리로 이어지는 사고 과정의 기록일고 말했다.