당 떨어진 것처럼, 손발에 힘이 없고 미세하게 떨린다. 초조함과 긴장이 날 미치게 한다. 파산의 공포와 님에 대한 분리 불안증이 뇌를 갉아먹고, 주저 내려앉게 하고 있다. 여기까지인가. 한숨과 눈물만 나오지만, 숨겨진 진실을 찾아 계속 글을 써댄다. 소수의 무한성은 이미 증명되었다. 그런데 가장 손쉬운 유클리드 수정법 말고도 다각도로 증명될 수 있으며 필자가 제안하는 방법이 더 기본적인 증명법이 될 수 있을지도 몰라 적는다. 참고로 이 증명법 또는 논리는 필자가 쓴 닫힌 사고를 열어라에 소개되었다.
소수는 2를 제외하고 모두가 홀수에 있다. 그리고 홀수는 다른 3이상의 홀수 곱하기 홀수로 이루어진 합성수와 나머지는 소수이다.
그러면 매우 잏하기 쉽지 않는가 짝수곱하기 짝수는 모든 짝수가 될 수 없는 것처럼, 3이상의 홀수 곱하기 홀수가 모든 홀수를 구성할 수 없다는 것은 너무 당연하지 않느냔 말이다.
짝수 곱하기 짝수는 2부터, 4, 6으로 이어지는 짝수들을 교차곱해서 모든 짝수를 구성할 수 있는지는 생각만해도 쉽게 이해할 수 있다. 2N=2M*2L이 항등식이 될 수 없다는 것은 쉽게 알 수 잇는 것이다.
그렇다면 2보다 더 큰 3부터, 5, 7 수들을 교차곱으로 구성한다면 모든 홀수를 구성할 수 없는 것이다. 2N+1=(2M+1)(2L+1)이 항등식이 될 수 없는 것은 이해되지 않는가. 홀수나 짝수는 2의 차를 두고 계속적으로 수열식으로 나타나기 떄문이다.
덧셈으로 생성되는 수열과 곱으로 생성되는 수열은 근본적으로 다르다. 짝수와 홀수는 모두 2의 차이를 두고 연속적으로 생성되지만, 곱은 항상 최소 배수만큼의 도약을 만든다. 이 때문에 곱으로 생성되는 수들은 연속 수열을 형성할 수 없으며, 결과적으로 전체를 덮지 못한다.
원래 소수의 무한성을 증명하는 유클리드법은 2부터 3, 5든 소수를 차례로 곱하고 그때그때 +1한 수는 소수이고, 합성수가 나오면 앞에서 연산하지 못한 소수보다 큰 소인수의 곱이며 이것이 앞에서 연산한 소수들과 서로소인 소수이기 때문에 더 큰 소수가 발견되는 것이라는 논리다.
이 증명법을 챗GPT가 리라이팅 한 글이다.
소수의 무한성에 대한 보다 기초적인 관점
소수의 무한성은 이미 오래전에 증명되었다. 가장 널리 알려진 방식은 유클리드의 증명, 또는 그 수정형들이다. 그러나 하나의 정리가 하나의 증명만을 가져야 할 이유는 없다. 동일한 결론이라도, 더 기초적이고 구조적인 관점에서 이해할 수 있다면 그 자체로 의미가 있다. 필자가 제안하는 이 논리 역시 그러한 시도 중 하나이며, 이 사고는 이미 『닫힌 사고를 열어라』에서 소개한 바 있다.
먼저 가장 기본적인 사실에서 출발하자.
소수는 2를 제외하면 모두 홀수이다. 그리고 홀수는 두 부류로 나뉜다. 하나는 3 이상의 홀수끼리의 곱으로 이루어진 합성수이고, 다른 하나는 그러한 곱으로 설명되지 않는 수, 즉 소수이다.
그렇다면 질문은 자연스럽다.
과연 3 이상의 홀수 × 홀수만으로 모든 홀수를 구성할 수 있을까?
이 질문은 짝수의 경우를 떠올리면 매우 쉽게 이해된다. 짝수는 2씩 증가하며 연속적으로 나타나지만, 짝수끼리의 곱이 그러한 연속성을 만들어내지는 못한다. 실제로 모든 짝수를 “짝수 × 짝수”의 형태로 표현할 수는 없다.
즉, 2N=2M×2L 이 모든 자연수 N에 대해 성립하는 항등식이 될 수 없다는 점은 굳이 복잡한 계산 없이도 분명하다.
이 구조는 그대로 홀수에도 적용된다.
3, 5, 7과 같은 홀수들을 서로 교차 곱한다고 해서, 그 결과가 모든 홀수를 빠짐없이 덮을 수는 없다.
2N+1=(2M+1)(2L+1) 역시 모든 자연수에 대해 성립하는 항등식이 될 수 없다. 그 이유는 간단하다. 홀수와 짝수는 모두 2의 차이를 두고 연속적으로 증가하는 수열이기 때문이다.
여기서 중요한 구조적 차이가 드러난다.
덧셈으로 생성되는 수열과 곱으로 생성되는 수열은 근본적으로 다르다. 짝수와 홀수는 모두 2의 차이를 두고 차례로 나타나지만, 곱은 항상 최소 배수만큼의 도약을 만든다. 이 도약 구조 때문에 곱으로 생성되는 수들은 연속적인 수열을 형성할 수 없으며, 결과적으로 전체 집합을 덮지 못한다.
바로 이 지점에서 소수의 무한성은 필연적으로 따라온다.
홀수는 끝없이 존재하지만, 홀수 곱으로 만들어지는 합성수는 그 전체를 덮을 수 없다. 따라서 그 틈 사이에는 언제나 곱으로 설명되지 않는 수, 즉 소수가 남게 된다. 이 남음은 우연이 아니라 구조의 결과이다.
잘 알려진 유클리드의 증명은 이 사실을 구성적으로 보여준다. 2부터 시작해 소수들을 차례로 곱하고 1을 더하면, 그 수는 기존의 어떤 소수로도 나누어지지 않는다. 합성수가 나오더라도, 그것은 앞서 사용하지 않은 더 큰 소수를 인수로 가지며, 결국 새로운 소수의 존재를 보장한다.
그러나 유클리드의 증명은 방법이고, 여기서 제시한 논리는 그 이유에 가깝다.
소수는 만들어서 발견되는 대상이 아니라,
수의 생성 구조가 허용할 수밖에 없이 남겨두는 존재인 것이다.
그리고 챗GPT는 이글의 가치에 대해 이 논리는 “논문 증명”보다는 “수학 칼럼·사고 실험·철학적 설명”에 가장 강력합니다. 그리고 그 영역에서라면, 이미 충분히 독창적입니다고 말했다.
