정치 사회는 좌파로, 경제는 자본주의로 치닫는 사이비 진보들이 언제까지 지배하는 꼴을 보아야 하나. 필자는 극우 보수파도 문제지만, 정치적으로는 진보를 내세우며, 경제는 극도의 지대추구형의 자본주의를 강화하는 사이비진보가 더 역겹다고 생각한다. 사실 노예해방 때도, 그 이전에는 노예를 해방시킨다는 것은 상상할 수없었던 일일 수 있다. 하지만, 노예해방이후에 노예제를 옹호하는 사람들은 사라지고, 노예해방이 진보라는 것을 모두가 이해할 수 있을 것이다. 그렇다면 노예해방과 같은 것이 지금은 뭐거 있을까. 모든 채권 채무가 무효라고 선언하는 사건을 상상해본다. 지금은 말도 안된다고 여기겠지만 적어도 소설이나 영화의 주제로선 언제가는 생각해볼 수 있는 노예해방과 같은 혁명적인 사건이 될 수 있을 것이란 생각이다.
페르마의 마지막 정리를 쉽게 이해할 수 있는, 다시말해 가장 이해하기 쉬운 증명을 해보려고, 몇일째 고민하고 있다. 그래서 생각해낸것이 일단은 지수가 3이상의 홀수일때와 지수가 4이상의 2의 거듭제곱일때를 나누어서 증명법을 고안해보았다.
지수가 3이상의 홀수일때를 증명하면, 지수가 3이상의 홀수의 배수인 경우는 모두 증명되는 것으로 볼 수 있다. 그러면 뭐가 남겠는가. 지수가 2의 배수인 2의 거듭제곱만 증명하면 되지 않게는가 말이다.
즉, 지수가 6인 경우는 지수 2의 3제곱과 같아서, 어떤 정수의 2제곱을 하나의 정수로 삼으면, 정수의 3제곱에서 페르마 마지막 정리가 증명되면 6제곱에서도 9제곱에서 증명되는 것과 같다는 것이다. 그런데 지수가 홀수에서 페르마의 마지막 정리는 앞에서 소개했고, 여기에서는 다시한번 지수가 2의 거듭제곱에서 페르마 정리가 쉽게 증명될 수 있는 법을 소개한다.
먼저 A의 4제곱-B의 4제곱=C의 4제곱일때, ABC가 모두 정수인 해는 없다는 것을 증명해보자.
먼저 이 식에서 가장 큰수 A는 짝수가 아닌 홀수라는 것을 이해해야 한다. 이는 원시피타고라수 세수에서 가장 큰수는 짝수가 없다는 것과 같은 논리다.
가장 간단하게는 B의 2제곱 +C의 2제곱=A의 2제곱이라고 해놓으면, B와 C는 홀수란 것을 알 수 있다. 모두 짝수이면 약분할 수 있으니 의미가 없다. 그렇다면, 홀수 2제곱은 8곱하기 삼각수 +1이란 것을 알고 짝수의 2제곱은 4곱하기 어떤 수의 2제곱이라것을 알면 된다.
이를 위식에 대입하면 좌변은 2의 배수가 되고 우변의 4의 배수가 되는 것이다. 즉 A는 짝수가 될 수 없다.
그래서 가장 처음의 식(A의 4제곱-B의 4제곱=C의 4제곱)에서 A는 홀수이면, B와 C는 둘중에 하나는 홀수가 되는 것이다. 즉 이해를 쉽게하기 위해 B를 홀수라고 하고 증명하면 된다.
그런데 A의 4제곱-B의 4제곱=C의 4제곱은 이수분해가 된다.(A의2제곱-B의 2제곱)(A의 2제곱+B의 2제곱)=C의 4제곱으로되는 것이다.
그런데, 홀수 2제곱은 8 곱하기 삼각수 +1이라고 했다. 이를 대입해보자. 그러면 좌측괄호는 8곱하기 삼각수(L이라고 하자)-8곱하기 삼각수(M이라고 하자)가 되고 우측 괄호안은 8곱하기L+1+8곱하기M+1이된다. 그러면 2의 배수가 되는 것이다.
이를 정리해서 식으로 쓰면, 8(L-M)2(4(L+M)+1)이 된다. 그러면 8과 2를 곱하면, 16이 되어, 이것자체로 어떤 짝수의 4제곱이 될 수 있어 문제가 없다. 그런데 두 괄호안L-M과 L+M+1서로소의 관계를 보인다. 간단하게는 L-M이 짝수이면 우측괄호안은 홀수가 되고, L-M이 홀수이면 우측은 짝수가 되는 것처럼 말이다. 즉 실제 사례로 보면, 차가 3의 배수이면 합도 3의 배수가 되어 4곱하기 3의 배수에 1을 더해주는 수가 되어, 3의 배수로 나누어떨어지니 않는 수가 된다. 차가 5일때도 합이 5의 배수가 된다.
A의2제곱-B의 2제곱과 A의 2제곱+B의 2제곱이 어떤 정수의 각각의 4제곱이 될 수는 없다는 것은 쉽게알 수 있다. 이는 두식을 더하면, 2곱하기 A의 제곱이 어떤 두 네제곱수의 합이 되어야하는데, 네제곱수를 사각수에서만이라도 성립이 되느냐가 따져보면, 두 사각수의 합이 산술평균은 사각수가 될 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있다.
또 2곱하기 A(홀수)의 제곱는 둘다 짝수인 네제곱수의 합이 될 수 없는 것은 한편은 2의 붓인데, 두 네제곱수의 합은 14의 배수이란 것으로 쉽게 알 수 있는 것이다.
그러면 어떤 4제곱수가 되려면, 같은 소인수의 지수의 합이 4가 되어야 하나 그렇게 될 수 없다는 것이다.
즉 유일한 방법은 두 괄호안이 각각 어떤 정수의 4제곱인 수가 되어야 하는 것이다.
이를 식으로 써보면 L-M이 어떤 정수 K의 4제곱이 되고, L+M+1이 다른 어떤 정수 N의 4제곱이 되어야 한다.
그런데, L-M이 짝수이면 짝수 K의 4제곱이 성립이 되려면, 16의 배수여야한다. 그래서 L-M이 16의 배수라고 한다면 그러면 L+M은 2의 배수이거나 8의 배수식으로 구조가 되어, L의 2제곱-M의 제곱은 짝수일때 항상 2의 홀수 제곱이 된다.
그러면 L+M+1이 홀수 N의 4제곱이 되려면 양식에서 1을 빼면, N+M은 2의 홀수제곱인데, 올수 N의 4제곱에서 1을 빼면 16의 배수가 되는 것이다.
또 L-M이 홀수라면 어떤가. 여기에서 1을 뺴면, 16의 배수가 될 수 있어서 홀수 K의 제곱은 만들어질 수 있다. 그러면 L+M+1은 역시 2의 배수등 2의 홀수배수가 되어, 16의 배수인 짝수 N의 4제곱이 될 수 없다는 것이다.
이에 대해 챗GPT는 논리적 명확성: 인수분해 → 서로소 분석 → 제곱 구조 → 불가능성 도출이라는 단계가 깔끔합니다며 내용 자체는 수학사에서 알려진 n=4 증명과 유사하지만, “짝수를 떼어낸 뒤 서로소로 보는 구조”를 강조하는 설명 방식은 학습자 친화적인 변형입니다고 말했다.
