난 하루하루가 피를 말리는 상황이다. 아니 많은 한계에 닫힌 기업이며, 소상공인, 실직자, 가난한 노인들은 별반 다르지 않을 것이다. 이런 상황에서 5년간 무엇을 하겠다는 것인가. 저출산 고령화, 기후 위기, 지역 소멸 등 굵직한 과제가 우리 앞에 놓여있고, 세부적으로 국민연금 구조개혁과 출산률제고, 임금과 영업소득 상승, 정부 대출 확대 등 진짜 기다리던 과제는 하나도 하지 않는다. 이생망을 다시 외칠 수밖에 없다. 그럼에도 아무도 인정해주지 않는다. 과학기술이 중요하다고 외치는 MBC, 한겨레, 오마이, 경향도 외면해오는 관계로 난 친구도 없고, 파산에 몰렸다. 그래도 쓴다. 앞서서 페르마의 마지막 정리 증명을 지수가 홀수에서, 그리고 지수가 2의 거듭제곱으로 나누어서 증명할 수 있다고 했다.
그러면 지수의 합성수는 소수가 증명되면 자동적으로 증명되는 것이기에 모든 지수에서 증명된 것과 같은 것이 된다.
지수가 2의 거듭제곱을 이해하는 전제는 세수중 가장 큰수는 짝수가 아니라는 것, 세수는 홀수 2개와 짝수하나로 이뤄졌다는 것이다.
그래서 지수가 4인 수를 대표사례로 볼때, A의 4제곱-B의 4제곱=C의 4제곱에서 A와B는 홀수, C는 홀수인 식만 증명하면, 지수 4에서는 모두 증명됐다고 할 수 있는 것이다.
좌변의 식은 인수분해가 된다. (A의 2제곱-B의 2제곱)(A의 2제곱+B의 2제곱)으로 그런데, 홀수 2제곱은 8곱하기 삼각수 +1의 구조를 가지고 있다는 것을 알 수 있다.
그러면 위 식은 (8X+1-8Y-1)(8X+1+8Y+1)이 되는 것이다. 식을 정리하면 8(X+Y)곱하기 2(4X+4Y+1)이 된다. 즉 16(X+Y)곱하기(X+Y+1)이 된다. (홀수를 2k+1이라고 써보면, 제곱은 (2k+1)² = 4k(k+1) + 1이 된다. 그런데 k와 k+1은 연속된 수니까, 그 곱 k(k+1)은 정확히 어떤 삼각수다. 게다가 그 삼각수에 4를 곱하면, 8 곱하기 삼각수 + 1의 꼴이 딱 나온다.)
그런데 잘보라. 이 식 자체가 언떤 정수C의 4제곱이되어야 하는데, C는 짝수이다. 따라서 16의 배수일 것은 명확한데, 즉 16곱하기 어떤 정수의 4제곱이 되어야 하는 것이다.
그러나 16(X+Y)(4X+4Y+1) 식에서 두 괄호는 무조건 홀수의 4제곱만(4X+4Y+1이 홀수이기에)이 성립될 수 있어, X+Y도 홀수여야 한다. 이 식을 정리하면 4(X+Y)^+X+Y가 되는데 홀수인 것이다.(차고로 수정 첨부하면, 두 괄호 X+Y와 4(X+Y)+1은 서로소여서 거듭제곱이 될 수 없다)
그런데, 어떤 홀수의 제곱은 8곱하기 삼각수+1이므로 4제곱은 64곱하기 삼각수의 제곱 더하기 16 곱하기 삼각수 +1이 된다.(그럼 홀수의 4제곱은 어떻게 될까?
홀수 제곱이 이미 8t+1 꼴이니, 그걸 다시 제곱하면64t2제곱+16t+1이 된다.여기서 t는 어떤 삼각수이니까, 이 식은 결국 64 곱하기 (삼각수의 제곱) + 16 곱하기 (삼각수) + 1의 형태를 갖게 된다.)
64곱하기 삼각수의 제곱 더하기 16 곱하기 삼각수 +1와 4(X+Y)^+X+Y가 같아야 하는데, 양 식에서 1을 뺴면 앞의 식은 16의 배수가 되고, 뒷 식은 2의 배수나 4의 배수가 될 수 밖에 없다. X+Y가 홀수 이므로.
4(X+Y)^+X+Y는 식에서 1을 뺴다면, 4곱하기 홀수+ 짝수가 되는데, 이 식은 2의 배수 4의 배수만 될 수 없는 것은 쉽게 이해할 수 있지 않는가. (그런데 이게 C의 4제곱 되려면, C가 홀수니까
반드시 “64×삼각수² + 16×삼각수 + 1” 꼴이어야 한다. 즉, 양변에서 1을 빼면 왼쪽은 16의 배수여야 하고, 오른쪽은 홀수의 4제곱에서 1을 뺀 값이 된다. 그런데 홀수의 4제곱에서 1을 빼면, 항상 16으로 나누어 떨어지면서도 그 몫이 짝수가 된다. 반면, 16(X−Y)[4(X+Y)+1]−1 꼴은 X, Y 홀짝 조건 때문에 그 몫이 홀수가 되어버린다. 즉, 16으로 나누었을 때 몫의 짝·홀성에서 결정적 모순이 생긴다.
가령 4곱하기 9+8을 넣은다해도, 이 식은 4(9+2)로 4의 배수만 되지 않는가 말이다. 결국 4제곱에서는 페르마의 마지막 정리가 증명될 수 있다.
지수가 4일때 증명이 됐다고 한다면, A의 2제곱의 4의 제곱이란 식으로 치환해서 모든 지수가 2의 거듭제곱에서 증명되는 것으로 간주할 수 있다.
챗GPT가 너무 글을 못썼다고 다시 정리해준 것을 첨부한다.
지수가 2의 거듭제곱을 이해하는 전제는 간단하다.
세 수 중 가장 큰 수는 짝수가 될 수 없고, 세 수는 홀수 두 개와 짝수 하나로 이루어진다.
따라서 지수가 4인 경우를 대표로 보면,
A4−B4=C4A^4 - B^4 = C^4A4−B4=C4에서 A, B는 홀수이고 C도 홀수인 식만 증명하면,
지수 4의 경우 전체가 증명된다고 볼 수 있다.
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좌변은 인수분해된다.
A4−B4=(A2−B2)(A2+B2)A^4 - B^4 = (A^2 - B^2)(A^2 + B^2)A4−B4=(A2−B2)(A2+B2)
여기서 홀수의 제곱은 항상 8×삼각수+18 \times \text{삼각수} + 18×삼각수+1 꼴을 가진다.
(홀수를 2k+12k+12k+1이라 하면, 제곱은 (2k+1)2=4k(k+1)+1(2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1(2k+1)2=4k(k+1)+1이 되고,
k(k+1)k(k+1)k(k+1)은 연속된 수의 곱이므로 어떤 삼각수다. 이로써 8×삼각수+18 \times \text{삼각수} + 18×삼각수+1 구조가 나온다.)
따라서
A2=8X+1,B2=8Y+1A^2 = 8X + 1,\quad B^2 = 8Y + 1A2=8X+1,B2=8Y+1
가 되고,
A2−B2=8(X−Y),A2+B2=8(X+Y)+2A^2 - B^2 = 8(X - Y), \quad A^2 + B^2 = 8(X + Y) + 2A2−B2=8(X−Y),A2+B2=8(X+Y)+2
이므로,
A4−B4=8(X−Y)×[8(X+Y)+2]=16(X−Y)[4(X+Y)+1]A^4 - B^4 = 8(X - Y) \times [8(X + Y) + 2] = 16(X - Y)[4(X + Y) + 1]A4−B4=8(X−Y)×[8(X+Y)+2]=16(X−Y)[4(X+Y)+1]
꼴이 된다.
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이 식이 C4C^4C4가 되려면, C가 홀수이므로 C의 4제곱은 반드시
64×(삼각수2)+16×(삼각수)+164 \times (\text{삼각수}^2) + 16 \times (\text{삼각수}) + 164×(삼각수2)+16×(삼각수)+1
꼴이어야 한다.
이는 앞서 본 홀수 제곱의 구조를 한 번 더 제곱해서 얻은 결과다.
따라서 양변에서 1을 빼면, 왼쪽은
16(X−Y)[4(X+Y)+1]−116(X - Y)[4(X + Y) + 1] - 116(X−Y)[4(X+Y)+1]−1
이고, 오른쪽은 홀수의 4제곱에서 1을 뺀 값이다.
여기서 결정적 모순이 생긴다.
홀수의 4제곱에서 1을 빼면 항상 16으로 나누어 떨어지면서도 그 몫이 짝수가 된다.
반면, 16(X−Y)[4(X+Y)+1]−116(X - Y)[4(X + Y) + 1] - 116(X−Y)[4(X+Y)+1]−1 꼴은 X, Y의 홀짝 조건 때문에 그 몫이 홀수가 되어버린다.
즉, 16으로 나누었을 때 몫의 짝·홀성에서 서로 맞출 수 없는 모순이 발생한다.
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이 모순은 어떤 X, Y를 넣어도 피할 수 없으므로, 지수 4에서는 해가 존재하지 않는다.
그리고 지수 4에서 증명되면, A의 제곱을 새로운 변수로 치환하는 방식으로
지수가 2의 거듭제곱인 모든 경우에도 페르마의 마지막 정리가 성립함을 알 수 있다.
