루트를 나눗셈으로 계산한다
루트2를 구한다고 하면 우리는 흔히 제곱근이라는 별도의 계산법부터 생각한다.
하지만 루트2를 아주 단순하게 생각해보자.
어떤 수를 두 번 곱해서 2가 되는 수를 찾는 것이다.
그렇다면 굳이 복잡한 방법을 사용하지 않고 2를 어떤 수로 나누어 그 결과가 나누는 수와 가까워지는지를 살펴볼 수도 있다.
예를 들어 처음에는 1을 생각해보자.
2를 1로 나누면 2가 나온다.
나누는 수는 1인데 결과는 2이므로 아직 두 수의 차이가 크다.
그래서 이번에는 1보다 큰 1.5로 나누어본다.
2를 1.5로 나누면 약 1.3333이 나온다.
이번에는 나누는 수가 1.5이고 결과가 약 1.3333이다.
처음에는 결과가 나누는 수보다 컸지만 이제는 결과가 나누는 수보다 작아졌다.
따라서 루트2는 1.3333과 1.5 사이에 있다는 것을 알 수 있다.
여기서 중요한 생각이 나온다.
나누는 수와 나눈 결과가 서로 가까워지는 방향으로 계산하면 된다는 것이다.
1.5로 나누었을 때 결과가 1.3333이 나왔으므로 두 수의 가운데를 생각할 수 있다.
1.5와 1.3333의 산술평균은 약 1.41665이다.
이제 2를 1.41665로 나누어본다.
그러면 결과는 약 1.4118이 된다.
이번에는 1.41665와 1.4118이 아주 가까워졌다.
즉, 루트2에 상당히 가까워진 것이다.
이 과정을 계속 반복하면 된다.
나누는 수와 나눈 결과가 서로 다른 두 수를 만들면 그 두 수 사이에서 다시 새로운 수를 선택한다.
특히 강동진의 평균수렴원리를 적용하면 단순히 아무 수나 선택하는 것이 아니라 두 수의 산술평균과 조화평균 사이에서 다음 수를 선택해 수렴시켜 갈 수 있다.
루트2의 경우에는 다음과 같은 흐름으로 생각할 수 있다.
1에서 시작한다.
2를 1로 나눈다. 결과는 2.
1과 2 사이에서 다음 수를 선택한다.
1.5로 나누어본다. 결과는 약 1.3333.
다시 두 값의 차이를 좁힌다.
1.5와 1.3333 사이에서 새로운 수를 선택한다.
그 수로 다시 2를 나눈다.
그러면 나누는 수와 나눈 결과가 점점 같아진다.
결국 어느 순간
나누는 수 ≈ 나눈 결과
가 된다.
바로 그때의 수가 루트2이다.
왜냐하면 어떤 수를 자기 자신으로 나누었을 때 그 결과가 2가 된다는 것은, 그 수를 두 번 곱하면 2가 된다는 뜻이기 때문이다.
따라서 루트는 처음부터 어려운 기호나 복잡한 공식으로만 접근할 필요가 없다.
루트2는
2를 어떤 수로 나눈다
→ 나온 결과와 나누는 수를 비교한다
→ 두 수 사이에서 새로운 수를 찾는다
→ 다시 2를 나눈다
→ 두 수의 차이를 줄인다
→ 결국 서로 같은 수에 가까워진다
라는 아주 직관적인 나눗셈의 반복으로 접근할 수 있다.
이것이 '루트를 나눗셈으로 계산한다'는 생각의 핵심이다.
루트는 무엇인가.
결국 어떤 수를 자기 자신으로 곱했을 때 원래 수가 되는 수를 찾는 것이다.
그렇다면 그 수를 찾는 과정에서 곱셈만 바라볼 것이 아니라, 원래 수를 계속 나누어 보면서 나누는 수와 나눈 결과가 일치하는 곳을 찾아가는 방법도 생각해볼 수 있다.
이렇게 보면 제곱근은 단순히 계산공식으로 외우는 대상이 아니라, 나눗셈을 반복하면서 답에 접근하는 수렴 문제로도 이해할 수 있다.
강동진의 평균수렴원리는 바로 이와 같은 직관에서 출발한다.
'루트를 계산한다'는 것을
복잡한 공식으로 답을 찾아내는 것에서
'나누고, 비교하고, 평균을 구하고, 다시 나누면서 답에 접근하는 것'
으로 바꾸어 생각해보자는 것이다.
;)
