소수나, 쌍둥이 소수가 무한하다는 것을 증명하는 방법도 여러 가지가 있다. 가장 전통적인 방법은 유클리드 법을 수정해서 증명할 수 있다. 2부터 3등 소수를 차례로 곱하여 1을 더해주거나 빼준 두 수는 쌍둥이 소수이다. 단, 소수를 마지막으로 곱해준 수와 1을 더해주거나 빼준 소수 추정 수 사이의 솟수간의 곱이 합성수가 나올 수 있다.
그러더라도 새롭게 곱해준 소수는 1을 더해주거나 빼주면 쌍둥이 소수가 된다. 따라서 유클리드 수정법은 소수를 포함한 쌍둥이 소수의 무한성을 증명하는 법으로 사용할 수 있다. 그런데 여기서 소개할 방법은 가장 직관적인 소수 및 쌍둥이 소수 무한성을 증명하는 법이다. 특히 소수나 쌍둥이 소수는 사각수와 높은 상관성을 가지고 나타나기에 사각수가 무하다면 쌍둥이 소수나 소수는 무한하다고 증명하는 방법이다.
먼저 쌍둥이 소수는 제곱수와 제곱수 사이에 1부터 매우 느리게 산술적으로 증가하며 나타난다는 것이다. 사각수 121까지 가각 사각수 사이에는 소수가 거의 쌍둥이 소수가 거의 1개씩 나타난다. 그 뒤로는 사각수 사이에 2개씩 하는 식이다. 소수는 제곱수가 1개 나올 때, 자연수를 반복적으로 횟수로 나타나며 증가하는 것이다. 즉 1, 2, 2, 3, 3, 3,---하는 식이다. 물론 이건 정확하게 2개일 때 2개인 것은 아니고 추세적으로 대략 그 수와 비슷하게 증가하는 것이다. 2개 나올자리에 1개밖에 나오지 않았다면 뒷수에서는 3개가 나오는 식이다.
결국 쌍둥이 소수나 자연수는 제곱수가 무한하면 무한하다고 말할 수 있다는 것이다. 현대 수학은 가장 좋은 방법이라고 할수 없지만, 논리보다는 식이다. 몰론 식으로도 절대 쌍둥이 식을 만들 수 있으며, 절대 소수인 식을 만들 수 있다.
