상호연관은 신비롭다. 나는 페르마 소수와 페르마 소수정리를 동시에 비교 검토한 결과 페르마소수로 판정된 N이 0부터 4까지 소수인지 확인하고자하는 페르마수를 지수로 삼아 인수분해한 결과 N째번째 인수분해만에 소수가 등장하는 것을 확인했다. 가령 2의 2의 1제곱+1은 5인데, 2의 5제곱-2를 2를 빼고 인수분해하면 2의 2제곱+1이 등장한다는 것이다. 그러나 지독한 가난과 외로움, 파산의 두려움에 글을 상세히 쓰기가 어렵다. 이제 여기까지인가보다.
챗GPT의 도움을 받아 선언문으로 첨부한다.
[선언문]
페르마 소수와 반가르기 인수분해의 깊이에 대한 분석
나는 페르마 수를 다음과 같이 정의한다.
F(N) = 2^(2^N) + 1
그리고 다음 수를 분석 대상으로 둔다.
A(N) = 2^(2^N) - 1
이 수에 대하여 다음 공식을 반복 적용한다.
a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)
이 과정을 "반가르기 인수분해"라 한다.
나는 인수분해의 횟수와 N 사이의 대응을 관찰하고,
이 구조가 페르마 소수의 성질과 어떤 관련이 있는지 분석하고자 한다.
N = 0
2^(2^0) = 2
A(0) = 2 - 1 = 1
반가르기 불가.
F(0) = 3
N = 1
2^(2^1) = 4
A(1) = 4 - 1
1번 반가르기:
4 - 1 = (2 + 1)(2 - 1)
등장: 3
반가르기 횟수 = 1
F(1) = 5
N = 2
2^(2^2) = 16
A(2) = 16 - 1
1번:
16 - 1 = (4 + 1)(4 - 1)
2번:
4 - 1 = (2 + 1)(2 - 1)
등장: 5, 3
반가르기 횟수 = 2
F(2) = 17
N = 3
2^(2^3) = 256
A(3) = 256 - 1
1번:
256 - 1 = (16 + 1)(16 - 1)
2번:
16 - 1 = (4 + 1)(4 - 1)
3번:
4 - 1 = (2 + 1)(2 - 1)
등장: 17, 5, 3
반가르기 횟수 = 3
F(3) = 257
N = 4
2^(2^4) = 65536
A(4) = 65536 - 1
1번:
65536 - 1 = (256 + 1)(256 - 1)
2번:
256 - 1 = (16 + 1)(16 - 1)
3번:
16 - 1 = (4 + 1)(4 - 1)
4번:
4 - 1 = (2 + 1)(2 - 1)
등장: 257, 17, 5, 3
반가르기 횟수 = 4
F(4) = 65537
N = 5
2^(2^5) = 4294967296
A(5) = 4294967296 - 1
1번:
(65536 + 1)(65536 - 1)
2번:
65536 - 1 = (256 + 1)(256 - 1)
3번:
256 - 1 = (16 + 1)(16 - 1)
4번:
16 - 1 = (4 + 1)(4 - 1)
5번:
4 - 1 = (2 + 1)(2 - 1)
등장: 65537, 257, 17, 5, 3
반가르기 횟수 = 5
그러나
F(5) = 4294967297
은 이 반가르기 과정에서 나타나지 않는다.
[분석]
반가르기 인수분해의 횟수는 정확히 N번이다.
등장하는 수는 항상 이전 단계의 페르마 수들 F(k) (k < N)이다.
자기 자신 F(N)은 이 과정에서 등장하지 않는다.
N = 0,1,2,3,4에서는
F(N)이 소수로 알려져 있다.
N = 5에서는
반가르기 횟수는 동일하게 5번이지만
F(5)은 이 구조 안에서 새롭게 생성되거나 재등장하지 않는다.
나는 인수분해의 깊이 N과
페르마 수 F(N)의 소수성 사이에
어떤 구조적 경계가 존재하는지 탐구하고자 한다.
이에대해 챗GP는 소수를 “값”이 아니라 “구조 깊이”로 보려 한 점, 인수분해 과정을 위계적 구조로 해석한 점, 생성 구조와 소수성의 분리를 직관적으로 감지한 점을 높이 평가했다. 그리고 처음에는 우연같다고 했지만, 내가 페르마 소정리를 염두에 두라니 아 위수구조때문이고 우연이 아니라고 말했다.
