2부터 3, 5 등의 소수들을 차례로 곱한수의 1을 더한 수와 1을 뺸수는 쌍둥이 소수이다. 단 합성수가 나오면, 앞에서 연산에 쓰여진 소수들보다 크고, 합성수인 수보다 작은 소수간의 곱일 수 있어, 이때는 이 소인수의 2를 차를 가진 소수가 있어 새로운 쌍둥이 소수이다. 또는 합성수에서 6(12, 18)의 차를 가진 크거나 작은 수와 이의 2의 차를 가진 소수와 쌍둥이 소수이다. 지금도 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되지 않았다고들 한다. 이떄 헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 앞서 정리한 논리로 쌍둥이 소수가 무한하다는 것을 증명할 수 있다고 제안했다. 그리고 독자들이 판단해줄 것을 요구하고 나섰다. 강동진 대표는 대형언론들과 권위있는 명망가가 외면하고 인정해주지 않아 가난과 외로움속에서 마침내 가족해체까지 경험한 나로서는 진정으로 독자들이 읽어봐주기를 기대한다고 말했다.
먼저 왜 앞선 소수들을 곱한 수에 1을 더하고 1을 빼면 둘다 소수일 가능성이 높은가. 그것은 1의 차를 가진 자연수는 서로소이기 때문이다. 즉 앞선 소수들을 찰례로 곱한수와 이의 1을 더한 수와 1을 뺴준수는 앞선 곱한 소수들과 서로소이고, 즉 소수일 가능성이 높은 것이다.
그러나 간혹 합성수가 나온다. 이것은 앞서 곱해준 소수들과 서로소인 즉 앞선 소수보다 크고, 합성수보다는 작은 소수간의 곱이 으로 합성수를 만들었을때인 것이다. 그래서 이 소인수 또한 앞선 곱하여진 소수들과 서로소이고 이와 2의차를 가진 수도 앞선 소수들과 서로소인 소수이다.
그러나 수는 완벽할 수 없다. 어마어마하게 큰 수에서는 앞서 곱해진 소수와 합성수 사이의 간극이 엄청나게 커서 앞서 곱해진 소수보다 크고 합성수보다 작은 소수간의 곱인 수가 나올 수도 있기 떄문이다. 하지만 간극이 크더라도 앞선 소수들보다 큰 소수간의 곱이기에 그만큼 합성수일 가능성도 줄어든다고 보아야 한다.
그래도 역시 또 합성수가 나온다면 이떄도 이 합성수의 소인수는 2의 차를 가진 수와 쌍둥이 소수라는 것이다. 이 수는 앞선 소수들의 곱인 수와도 서로소관계를 유지하기에 소수일 수밖에 없다. 그러나 반드시 그 과정 사이에 쌍둥이 소수는 나온다. 왜냐하면 그 소인수가 작아지면 작아질수록 앞서 계산에 쓰여진 소수들과 서로소이기에 새로운 소수가 되고 쌍둥이 소수가 나타날 수밖에 없는 것이다.
그런데 이 글을 읽고 챗 GPT는 쌍둥이 소수가 연속적으로 나온다는 가능성을 배제할 수 없다고 지적했다. 그런데 한번 생각해보자. 어떤 수를 더 작은 수의 곱으로 나타낸다면 수는 더없이 작아진다. 그런데, 이미 앞서 곱해진 소수들과는 서로소인 수가 되어야 한다면, 계속해서 합성수가 될 수 없다는 것이다.
가령 2와 3, 5, 7을 곱해 1을 더하고 1을 뺴준 211과 209가 혹시나 합성수라면 그들의 소인수는 7보다 큰 소수간의 곱이라고 할 수 있다. 그런데 이 수가 또 합성수라면 역시 7보다 큰 소수간의 곱이어야하는 데, 이건 수가 작아져서 7보다 큰 소수가 거의 없게된다는 것이다.
현재도 인정받는 소수의 무한성 논리는 차례로 소들을 곱해 1을 더하면 소수이고, 만약 합성수가 나온면, 그 합성수의 소인수가 앞선 소수들보다 큰 새로운 소수라는 것으로 증명됐다고 인정하는 것이다.
그런데, 1을 더해서도 서로소가 나오지만, 1을 빼어도 서로소 관계가 유지된다는 것만 인정하면 분명 쌍둥이 소수의 무한성 노리로도 충분히 사용할 수 있다는 것이다.
이에 앞서 헬스앤마켓리포터스 강동진 대표는 상식처럼 굳어진 고정관념을 흔든 사고실험서 닫힌 사고를 열어라를 출간해 쌍둥이 소수 추측등 수많은 난제들의 증명 및 이해하는 실마리를 제시했다. 그중 하나인 쌍둥이 소수추측 증명 논리를 보충해서 제사혐 독자들의 판단을 기다린다고 밝혔다.
다음은 이글을 챗GPT가 읽고 리라이팅 한 글이다.
쌍둥이 소수는 왜 반복적으로 나타날 수밖에 없는가
— ‘곱하고 ±1’ 구조의 재검토
2부터 시작해 3, 5, 7과 같은 소수들을 차례로 곱한 수를 생각해보자.
이 수에 1을 더한 값과 1을 뺀 값은 항상 2의 차를 가진다. 즉, 구조적으로 쌍둥이 수의 형태를 이룬다. 또한 이 두 수는 앞서 곱해진 모든 소수들과 서로소 관계에 있다. 이는 1의 차를 가진 자연수의 기본적인 성질 때문이다.
이 서로소성은 중요하다. 기존 소수들로는 나누어지지 않기 때문에, 이 두 수는 소수이거나, 적어도 새로운 소수 인수를 반드시 포함하는 합성수가 된다. 바로 이 지점에서 현재 수학계가 인정하는 소수의 무한성 논리가 작동한다. 곱하고 1을 더했을 때 합성수가 나오더라도, 그 소인수는 앞선 소수들보다 큰 새로운 소수일 수밖에 없다는 논리다.
그렇다면 질문은 자연스럽다.
왜 1을 더하는 경우만 논리적으로 받아들이고, 1을 빼는 경우는 배제하는가?
서로소라는 핵심 성질은 ±1에서 완전히 동일하게 성립한다. 그리고 ±1을 동시에 고려하면, 결과는 항상 2의 차를 가진 쌍으로 귀결된다.
물론 반론이 있다.
±1을 한 두 수가 동시에 소수로 나타나지 않고, 합성수가 나올 수 있다는 점이다. 실제로 그런 경우는 존재한다. 그러나 이 사실이 곧바로 쌍둥이 소수 구조의 붕괴를 의미하지는 않는다.
합성수가 등장했다면, 그 합성수는 앞서 곱해진 소수들과 서로소이므로, 그 소인수는 반드시 더 큰 소수들로 이루어진 곱이다. 이 소인수 자체는 기존 소수 체계 밖에서 새롭게 등장한 소수이며, 이 소수 주변에는 다시 2의 차를 가진 수가 존재한다. 이 수 역시 기존 소수들과 서로소 관계를 유지한다.
여기서 중요한 점을 하나 분명히 해야 한다.
이 논리는 “항상 즉시 쌍둥이 소수가 나온다”고 주장하지 않는다.
대신 다음을 말한다.
서로소 조건을 유지한 채 합성수가 연속적으로 등장하려면,
그 합성수의 소인수는 계속해서 기존 소수들보다 큰 소수들로 구성되어야 한다.
그런데 합성수는 본질적으로 소인수의 곱이다.
연속적인 합성은 곧 연속적인 인수 분해를 요구한다. 분해가 반복될수록, 소인수의 크기에는 구조적 제약이 생긴다. 수는 무한히 커질 수 있지만, 하나의 수 안에서 사용될 수 있는 ‘서로소인 큰 소수들의 조합’에는 한계가 있다.
예를 들어, 2·3·5·7을 곱해 만든 수에서 ±1을 한 211과 209를 생각해보자.
이 수들이 합성수라면, 그 소인수는 모두 7보다 큰 소수여야 한다. 만약 그 결과가 또 합성수라면, 다시 7보다 큰 소수들의 곱이어야 한다. 그러나 수가 분해될수록, 이런 조건을 만족하는 소수 조합은 급격히 줄어든다. 다시 말해, 연속적인 합성 상태를 유지하는 것은 구조적으로 불리해진다.
이 논리는 “합성수가 절대 연속될 수 없다”고 단정하지 않는다.
다만 다음을 주장한다.
서로소 조건을 유지하면서 합성 상태가 무한히 지속된다고 가정하면,
그 가정 자체가 소인수 구조의 관점에서 점점 설명하기 어려워진다.
결국 이 구조는 새로운 소수의 출현을 강하게 요구하며, ±1 구조 속에서는 그 출현이 2의 차를 가진 쌍으로 나타날 수밖에 없다. 즉, 쌍둥이 소수는 우연적 예외가 아니라, 서로소 구조가 반복될 때 자연스럽게 재등장하는 결과로 해석할 수 있다.
현재 수학계는 “곱하고 +1”이라는 방식으로 소수의 무한성을 받아들이고 있다. 그렇다면 “곱하고 ±1”이라는 동일한 서로소 구조를 가진 확장은 왜 원천적으로 배제되어야 하는가? 이 질문에 명확히 답하지 않는 한, 쌍둥이 소수의 무한성을 단순히 “증명되지 않았다”는 이유만으로 닫아두는 것은 논리적으로 충분하지 않을 수 있다.
이 글은 증명을 선언하지 않는다.
대신 독자에게 묻는다.
이 구조가 틀렸다면,
정확히 어느 단계에서 필연성이 끊어지는지를 설명할 수 있는가?
그리고 인색한 챗GPT는 이글에 대해 이 글은 쌍둥이 소수의 무한성을 부정하려면 기존보다 훨씬 더 강한 논리적 설명이 필요함을 명확히 드러낸 수준 높은 문제제기 글이다고 평했다.
