손을 내밀어준 사람이 없어, 내가 먼저 손을 뻗어보지만, 모두가 뿌리치고. 지독한 가난과 외로움은 나의 몸과 정신을 갉아먹었다. 아무도 인정해주지 않은 세상에서 인정해달라고 악다구니를 써보지만, 이내 제풀에 지쳐 무너져간다. 하지만 마지막 남은 진실이라 여기고 또다시 자판을 두들긴다. 필자는 공교육이 사교육보다 우월할 것이라는 사이비 진보들의 호객행위탓에 진실이 가려졌다고 믿는다.
우리의 교육은 다양성이 죽었고, 특히 몇몇 특정의 지식을 가지고, 서열화시키는 게 공교육이라고 고발하고 싶은 것이다. 수학능력을 가지고 서열화시키는 무모한 짓거리를 이제 멈추어야 한다고 말하고 싶은 것이다.
필자는 산술기하평균조화평균의 절대부등식을 증명하는 법은 여러가지일 수 있다고 생각한다. 그리고 공교육 과정에서 가르치고 배우는 방식은 하나일 뿐 아니라, 가장 최선의 방식도 아니라는 것을 말하고 싶다.
산술 기하 조화평균을 증명하는 법은 하나의 평균의 특징을 알면 어렵지 않게 증명할 수 있다. 그것은 다름 아니라 N개의 수에서 하나의 수가 산술평균에서 그 수의 차는 나머니 N-1개의 각가수에서 산술평균까지의 각가의 차들의 합과 같다는 것만 이해하면 된다는 것이다.
2와 4가 있다고 하자. 하나의 수 2는 산술평균 3ㄲ과의 차가 1이라면 나머지 수 4와 산술평균 3과의 차도 1이라는 것이다. 세수 이상에서 성립한다.
그러면 각수를 평균에서 차까지의 거리로 표현하고 곱이나 합을 계산해보자.
산술 기하평균은 쉽게 많이들 증명하기에 여기서는 조화평균과 기하평균만 가지고 해보자.
그럼 A와 B 두수의 조화평균은 어떻게 되는가.
2(평균-알파)(평균+베타)를 (평균-알파)+(평균+베타)로 나누는 값이 된다.
그러면 알파와 베타가 같으니, 분자는 2(평균의 2제곱-알파의 2제곱)이 되고 분모는 2평균이 된다. 2는 약분되고 그러면 알파의 2제곱은 0이아니라면 분자는 -값이된다. 값이 작아진다는 것이다.
그리고 위는 분자만을 제곱근을 취하면 기하평균이 되어, 0일때, 가장 큰 값이 되고, 이떄는 산술평균의 제곱을 제곱근한 것이니 산술평균과 같은 값이 되고, 식 전체의 조화평균값도 산술평균과 같은 값 최대값이 된다는 것도 알 수 있다.
0이 아니면, 분모는 덧셈, 분자는 -가 되어 조화편균이 작아지는 것도 이해할 수 있다.
그리고 수식을 빼고 챗GPT에 리라이팅해달라했더니 다음과 같이 설명했다.
평균에 관한 부등식은 복잡한 공식 없이도 충분히 이해할 수 있다.
핵심은 “평균이 무엇을 의미하는가”를 정확히 붙잡는 데 있다.
여러 개의 수가 있을 때 산술평균은 단순한 계산 결과가 아니라,
모든 수가 그 주위를 중심으로 균형을 이루는 지점이다.
어떤 수가 평균보다 작으면, 반드시 다른 수는 그만큼 평균보다 크다.
이때 작아진 거리와 커진 거리의 합은 항상 서로를 상쇄한다.
예를 들어 2와 4라는 두 수가 있다면,
평균은 3이고
2는 평균보다 1만큼 작으며
4는 평균보다 정확히 1만큼 크다.
두 수는 평균을 기준으로 완벽하게 대칭을 이룬다.
이 성질은 두 수뿐 아니라 세 수, 네 수, 더 많은 수에서도 그대로 성립한다.
이제 각 수를 “값 그 자체”가 아니라
“평균에서 얼마나 떨어져 있는가”라는 관점으로 바라보자.
그러면 계산의 성격이 완전히 달라진다.
두 수의 조화평균은
두 수를 곱한 뒤
그 값을 두 수의 합으로 나눈 구조를 갖는다.
이를 평균 중심에서 생각하면 다음과 같이 해석할 수 있다.
한 수는 평균보다 조금 작고,
다른 한 수는 평균보다 같은 만큼 크다.
두 수를 곱하면,
평균의 제곱에서 그 ‘거리의 제곱’만큼이 빠진 값이 된다.
즉, 두 수가 평균에서 멀어질수록
곱은 점점 작아진다.
반면 두 수를 더하면 상황이 다르다.
작아진 만큼과 커진 만큼이 서로 상쇄되기 때문에
합은 언제나 평균의 두 배로 유지된다.
거리와는 무관하다.
결과적으로 조화평균에서는
분모는 그대로인데
분자만 줄어드는 일이 발생한다.
그래서 두 수가 평균에서 멀어질수록
조화평균은 자연스럽게 작아진다.
반대로 두 수가 완전히 같아지는 순간을 생각해 보자.
이때는 평균에서의 거리가 0이 된다.
곱은 최대가 되고,
조화평균은 산술평균과 같은 값이 된다.
이 경우가 조화평균이 가질 수 있는 가장 큰 값이다.
기하평균 역시 같은 관점에서 이해할 수 있다.
기하평균은 곱의 크기를 직접적으로 반영한다.
곱이 가장 클 때, 즉
두 수가 평균에서 전혀 벗어나지 않을 때
기하평균 역시 최대가 된다.
그리고 그 값은 산술평균과 정확히 일치한다.
정리하면 이렇다.
수들이 평균에서 멀어질수록
곱은 줄어들고
조화평균은 더 빠르게 작아진다.
기하평균은 그 중간에 위치한다.
결국 평균의 부등식은
복잡한 공식의 문제가 아니라
“균형에서 벗어날수록 값은 줄어든다”는
아주 자연스러운 이야기다.
그리고 챗GPT는 '이 글의 가치는 평균 부등식을 증명했다는 데 있지 않고, 왜 평균 부등식이 당연한지를 설명하는 사고의 틀을 제시했다는 데 있다고 말했다.
