황막한 광야를 달리는 인생아, 너는 무엇을 찾으러 왔느냐. 사의 찬미가 또다시 귓가에 맴돈다. 거리에는 신들과 대화를 하는 이들이 늘어가고, 나는 님에 대한 분리불안증과 파산의 두려움속에 몸과 마음을 편하히 놓을 수가 없다. 나는 충분히 가치있다고 생각하는 발견을 많은 사람들은 거리의 개똥같이 보는 것 같아 미칠 것 같다. 가격은 가치에서 나오고 가치는 사람들이 부여하는 것인데, 인정을 받지 못한 무명의 한이 끝내 하늘도 나도 울게한다.
세수 이상에서 산술기하평균의 절대부등식을 왜 학교 교육에서 가르치지 않는지 챗 GPT에 물어보았다.
챗GPT는 교육적으로 중요한데 왜 안 가르칠까? 절대부등식은 계산 기술이 아니라 사고 구조이며 하지만 학교수학은 빠른 적용과 문제풀이에 최적화, 그래서 학생들은 절대부등식을 “외워서 쓰는 공식”으로 알고 “왜 모든 수가 같아지면 극값이 되는지”는 모른 채 지나갑니다고 말했다.
그런데 나는 구조적으로 세수 이상에서 사술 기하평균의 절대부등식을 가르칠 수있는 증명법을 고안해 보았다.
그것은 하나의 원리만 이해하면 간단히 증명할 수 있는 법이다. N개의 수에서 하나의 수와 산술평균의 차는 나머지 N-1개의 각가의 산술평균과의 차의 합과 같다는 것만 이해하면 된다는 것이다.
가령 2,4,5란 세수가 있다하자. 그럼 세수의 산술평균은 3분의 11이고, 세수중 한 수 2와 3분의 11의 차는 4에서 3분의 11의 차, 5에서 3분의 11의 차의 합과 같다는 것이다.
모든 수가 그렇다.
그러면 세수를 A,B,C라고 하면, 이 세수는 산술평균에서 a, b, c를 더해준 수가 가각 A,B,C라고 하자.
이를 곱해보자, (평균-a)(평균+b)(평균+c)를 곱하면,(a=b+c이고 괄호속의 부호가 a는 망이너스가 b와 c는 플러스 란것을 주의하자) 평균의 3제곱+평균2제곱*b+평균2제곱*c-평균2제곱a-ab평균-ac평균+bc평균-abc가 된다.
그러면 평균2제곱*b+평균2제곱*c-평균2제곱a은 a=b+c이므로 0이되고 평균의 3제곱-a2제곱*평균+bc평균-abc가 된다. 그러면 a와 b, c가 0이 아니라면 항상 평균의 3제곱보다는 작은 값이 되는 것이다.
그런데 우리는 앞에서 식을 도출할때, 세수를 곱했다. 이를 3제곱근 기하평균이고, 식의 내무에서 산술평균의 3베곱은 3제곱근하면 산술평균이 되는 것이다.
즉 산술평균은 ,a,b,c가 0이라면 기하평균이 산술평균과 같고 가장 크다는 것이다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
왜 세 수 이상의 산술–기하평균은 학교에서 가르치지 않을까
세 수 이상에서의 산술–기하평균 절대부등식은 수학적으로 매우 기본적이면서도, 정작 학교 교육에서는 거의 다루지 않는다.
이에 대해 챗GPT는 다음과 같이 답했다.
“절대부등식은 계산 기술이 아니라 사고 구조이며, 학교 수학은 빠른 적용과 문제풀이에 최적화되어 있다. 그래서 학생들은 절대부등식을 공식으로 외우고, 왜 모든 수가 같아질 때 극값이 되는지는 이해하지 못한 채 지나간다.”
이 설명은 절반만 맞다.
정확히 말하면 가르칠 수 없어서가 아니라, 가르칠 방법이 정리되어 있지 않았기 때문이다.
나는 세 수 이상에서도 하나의 원리만 이해하면 증명이 가능한 구조적 방법이 존재한다고 생각했고, 실제로 그 방법을 고안해 보았다.
핵심 원리: “하나의 편차는 나머지 편차들의 합이다”
다음 사실 하나만 이해하면 된다.
N개의 수에서 어떤 하나의 수와 산술평균의 차는,
나머지 N−1개 각각이 산술평균과 가지는 차의 합과 같다.
이는 단순한 항등이지만, 놀랍게도 거의 사용되지 않는다.
이 관계는 우연이 아니라 모든 경우에 항상 성립한다.
세 수를 평균을 중심으로 다시 표현하기
이제 세 수
A,B,C가 있다고 하자.
이들의 산술평균을 m이라 두고, 다음과 같이 표현한다.
A=m−a
B=m+b
C=m+c
앞의 원리에 의해 반드시 a=b+c가 성립한다.
이 조건이 이 증명의 유일한 구조적 가정이다.
곱을 전개하면 드러나는 구조
이제 세 수의 곱을 계산해 보자.
)
(m−a)(m+b)(m+c)
이를 전개하면
m3+m2(b+c−a)−m(ab+ac−bc)−abc
그런데
여기서 중요한 사실은 다음이다.
a,b,c 중 하나라도 0이 아니면
m3보다 작다
기하평균과 산술평균의 비교
우리는 처음에 세 수를 곱했다.
이 곱의 세제곱근이 바로 기하평균이다.
반면, 전개 과정에서 등장한
m3의 세제곱근은
m, 즉 산술평균이다.
따라서 결론은 명확하다.
a=b=c=0, 즉 세 수가 모두 같을 때
기하평균 = 산술평균
하나라도 다르면
기하평균 < 산술평균
이는 곧
산술평균은 세 수 이상에서도 항상 기하평균보다 크거나 같으며,
등호는 모든 수가 같을 때만 성립한다
는 절대부등식의 정확한 내용이다.
왜 이 방식이 교육적으로 중요한가
이 증명의 장점은 분명하다.
미분, 로그, 볼록성 같은 고급 도구가 전혀 필요 없다
하나의 직관적 원리
→ “평균에서의 편차는 서로 상쇄된다”
만으로 전체 구조가 설명된다
왜 “모든 수가 같아질 때 극값이 되는지”가 계산이 아니라 구조로 보인다
즉, 이 방법은
산술–기하평균을 공식이 아니라 사고의 결과로 보여준다.
맺으며
세 수 이상의 산술–기하평균이 학교에서 가르쳐지지 않는 이유는
난해해서가 아니라, 이처럼 구조를 드러내는 설명이 정리되지 않았기 때문이다.
그러나 평균과 편차라는 가장 기초적인 개념만으로도
절대부등식의 본질은 충분히 설명될 수 있다.
이것은 단지 하나의 증명이 아니라,
**“왜 수학에서 균형이 극값을 만드는가”**에 대한 가장 교육적인 설명일지도 모른다.
그리고 챗GPT는 이 글의 가치는 “세 수 이상의 산술–기하평균 절대부등식은 가르칠 수 없다”는 통념을 하나의 간단한 구조적 원리로 반박했다는 데 있다고 말했다.
