기하평균은 대개가 유리수이기 떄문에 근호를 벗기지 않고 근호를 그대로 씌어놓은채로 답을 단다. 그러나 숫자가 큰 거듭제곱근일수록 대충이라도 어느정도의 숫자인지 알수가 없다. 분모의 유리화를 가르치는 이유가 숫자의 크기를 가늠하기 쉽게 하기 위해서라는데, 기하편균과 거듭제곱근의 근사유리수화를 특별히 가르쳐야하지 않을까 생각한다.

일단 기하평균은 거듭제곱근으로 나온다. 그래서 기하평균을 근사유리수로 구하는 법이나, 거듭제곱근의 근사유리수 구하기는 우너리가 같다는 것을 먼저 이해하면 된다.

일단 2개의 수에서 기하평균 구하기, 2제곱근의 근사유리수 구하기부터 익혀야 한다.

즉 1과 2의 기하평균의 근사유리수를 구하는 것은 루트2를 근사유리수화하는 것과 같다.

이를 평균의 원리로 보면 산술평균 곱하기 조화평균의 2제곱근은 기하평균과 같다는 것을 알면된다. 또 산술평균과 조화평균의 사이에 기하평균이 있다는 점만 생각하면 된다.

루트2를 근사유리수화하는 것은 어떤 두수를 곱해 2가 되는 두수를 상정해서, 1과 2의 기하평균을 구하는 것은 1과 2라는 수가 주어진 것이라고 생각하고 이 두 수의 산술평균과 조화평균을 구하면 이 평균 사이에 기하평균, 근사유리수값이 있다고 생각하고 다시 두 평균의 산술조화평균을 구하고 또 두 평균의 산술조화평균을 계속해서 구해나가면 근사유리수의 기하평균값에 수렴하고 이는 2제곱근의 근사유리수값에 수렴한다는 것이다.

가령 1과 2의 산술평균 1.5 조화평균 1.3333을 구한다면 다시 두 평균의 산술평균 1.416 조화평균 1.412를 구해나가는 식으로 하면 1.414값에 가까워져가는 것이다.

문제는 세수 이상의 기하평균의 근사유리수와 3제곱근 이상의 거듭제곱근을 같은 식으로 구할 수 있느냐는 것이다.

일단 세수 이상에서는 두수씩 끊어서 두수만의 산숦조화평균을 구해서 근사한 기하평균의 그산유리수를 구하면, 그중 한 수와 나머지 앞에서 계산하지 않은 다른 한수의 산술조화평균을 구해서 기하평균의 근사유리수화를 구해나간다. 그리고 근사유리수가 나온면 다시 두수중 한 수와 앞에서 놔뒀던 근사유리수의 산룰 조화평균을 구해나가는 식으로 하는 것이 조금 복잡하다.

에를 들어, 1과 2와 4의 근사유리수 기하평균, 8의 세제곱근의 근사유리수를 구한다면, 1과 2,와 4중, 차가 큰 두수 1과 4를 먼저 산술조화평균을 구하고 또 산술조화평균을 구해나가 근사유리수의 기하평균을 구하면 된다.

1과 4의 근사유리수의 기하평균은 누구나 쉽게 알지만 2이니까, 2와 2 그리고 2를 곱하면 8이되니 쉽게 8의 세제곱근은 2가 되는 것을 알 수 있다.

다음은 챗GPT가 리라이팅 한 글이다.

기하평균을 유리수로 가늠하는 법

– 근사유리수화를 통한 거듭제곱근 이해

학교에서 ‘기하평균’을 배우면 대부분의 학생들은 답을 ‘√(a×b)’처럼 근호가 붙은 형태로 남겨둔다. 이유는 간단하다. 대개 기하평균은 유리수가 아니기 때문이다. 그러나 근호를 그대로 두면, 이 값이 얼마나 큰 수인지 감각적으로 알기 어렵다.

‘분모의 유리화’를 가르치는 이유도 사실 여기에 있다. 숫자의 크기를 가늠할 수 있도록 하기 위해서다. 그렇다면 기하평균이나 거듭제곱근도 ‘근사유리수화’ 과정을 통해 감각적으로 다룰 수 있도록 가르쳐야 하지 않을까?

기하평균과 거듭제곱근은 같은 원리

기하평균은 두 수의 곱의 제곱근으로 정의된다.

예를 들어, 1과 2의 기하평균은 √2이다.

따라서 “기하평균의 근사유리수를 구하는 법”은 곧 “√2의 근사유리수를 구하는 법”과 같다.

평균의 원리로 접근하기

산술평균(A)과 조화평균(H)의 사이에는 항상 기하평균(G)이 있다.

즉,

H < G < A

이 사실을 이용하면 √2의 근사값도 단순한 계산으로 좁혀나갈 수 있다.

예를 들어,

1과 2의 산술평균은 1.5, 조화평균은 1.333…이다.

따라서 √2는 이 두 값 사이 어딘가에 있다.

다시 이 둘의 평균을 내면,

산술평균: 1.416

조화평균: 1.412

이 과정을 반복하면 점점 1.414에 가까워진다.

이는 우리가 알고 있는 √2의 실제값(1.4142…)에 매우 근접한 결과다.

즉, 산술평균과 조화평균을 반복적으로 취하는 과정은 근사유리수화를 위한 간단한 알고리즘이 된다.

세 수 이상일 때는?

그렇다면 세 수 이상의 기하평균, 혹은 3제곱근 이상의 근사값은 어떻게 구할까?

이때는 두 수씩 짝지어 계산을 이어가는 방식으로 접근할 수 있다.

예를 들어, 1, 2, 4의 기하평균은 (1×2×4)의 세제곱근, 즉 8의 세제곱근을 구하는 것과 같다.

차이가 큰 두 수(1과 4)를 먼저 골라 산술평균과 조화평균을 반복하여 근사유리수를 찾는다.

1과 4의 기하평균은 2이고,

2×2×2 = 8이 되므로, 자연스럽게 8의 세제곱근은 2임을 알 수 있다.

이처럼 두 수의 평균 반복법은 거듭제곱근의 근사값을 찾는 직관적 도구로 확장될 수 있다.

맺음말

기하평균은 단순한 공식이 아니라, 수 사이의 조화와 균형을 보여주는 수학적 감각이다.

근사유리수화를 통해 그 크기를 감으로 느끼는 연습은 단순한 계산력 이상의 가치를 가진다.

근호 속 수의 ‘감’을 기르는 것, 그것이야말로 수학이 추구하는 진정한 이해의 시작이다.

그리고 이글의 가치에 대해 “공식을 외우는 수학에서, 감각으로 이해하는 수학으로” 그 전환을 보여주는 실험적이면서도 통찰력 있는 원고입니다.