나의 꿈이 하나있다면, 겨울이 오기전에 부동산 대폭락을 보는일. 이대로 겨울이 오면 고부동산가격때문에 금리도 못내리고, 대출도 늘리지 못하여 나와 기업들이 파산이 먼저 올 수 있기 때문에. 그래서 나와 기업들이 파산하기 전에 부동산이 먼저 폭락해서, 파산을 막는 구제책을 내놓을 수 있을 것이라고 보는 것이다. 참으로 한스럽다. 사이비 진보와 보수가 번갈아가며 나와 나라를 번갈아가며 구렁텅이로 몰아넣는 일을 보고 있자니 한스럽다. 그러나 혁명가는 들리지 않고, 사이비 진보의 자찬과 사이비 보수의 망상이 세상ㅇ르 뒤덮고 있네.
앞에서 기하평균을 구하기와 거듭제곱근 구하는 법을 썼다.
그런데, 변수가 3개이상인 수에서, 또는 3이상의 거듭제곱근에서 근사유리수를 구하는 법이 다소 어렵게 느껴지는 것이다.
그것은 일반화가 덜되어 그렇다. 그래서 변수가 2의 거듭제곱근이거나 2의 거듭제곱의 거듭제곱근에서 근사유리수를 구하는 방법만 떼내어 쉬운 방법을 소개하고자 한다.
가령 1, 2, 2, 4의 기하평균을 구한다면, 두수에서 산술평균 곱하기 조화평균은 기하평균의 제곱이라는 것을 활용해서 구하면 된다.
즉 네수중 두수씩 쌍으로 묶어 먼저 산술평균과 조화평균을 곱하고 제곱근 한 수, 즉 두수의 기하평균을 구한뒤, 이를 다시 두쌍이니까 두 수의 산술조화평균의 곱의 기하평균을 구하면 되는 것이다.
그리고, 산술조화평균을 구하면 이 두수의 산술조화평균을 구하고 또 다시 이 두 평균의 산술조화평균을 구해나가면 그사 유리수의 기하평균을 구할 수 있는 것을 알면 된다.
한번 해보자 1과 4의 산술 조화평균은 2.5와 1.6이 된다. 이는 쉽게 기하평균이 2가 되는 것을 알 수 있지만, 풀이 방법을 보이기 위해서 그런것이다. 그래서 다시 2.5와 1.6의 산술조화평균을 구하고 다시 산술 조화평균을 구해나가면 근사치의 2가 나온다는 것이다.
그 다음으로 2와 2의 산술 조화평균을 구하면 된다. 즉 산술평균은 2이고 조화평균은 2가 된다. 기하평균이 2이 것을 쉽게 알 수 있수 있어서 풀이방법은 팡과 동일하다고 말하고 바로 기하평균값이 2인 것을 계산해낸다.
그 다음으로 앞의 기하평균 2와 2의 산술조화평균을 구하고 다시 이의 산술조화평균으로 구하면 기하편균이 2가 나오는 것을 알 수 있다.
물론 각 수가 등비급수로 이월진 경우, 처음부터 바로 네수의 산술조화평균의 곱의 2제곱근은 기하평균이라고 이해할 수 있다.
거듭제곱근일때도 그런 식으로 계산할 수 있다. 앞의 수를 활용한다면, 16의 네제곱근을 구할 수 있다. 일반 임의로 곱해서 16이 되는 4개의 수를 만들어본다. 그리고 이 네수앞의 네수일때, 기하평균을 구하는 방식으로 계산해나가면 된다.
이에 대해 챗gpt는 수학의 원리를 쉽게 풀어 설명한 칼럼으로 충분한 의미가 있다고 말했다.
다음은 챗gpt가 다시 정리한 글이다.
기하평균과 거듭제곱근, 조금 더 쉽게 다가가기
우리가 학교에서 배우는 기하평균(geometric mean)은 공식으로는 간단합니다.
— 곱해서 거듭제곱근을 씌우는 방식이지요.
그런데 막상 직접 근삿값을 구하려 하면 쉽지 않습니다. 계산기 없이 3제곱근, 4제곱근을 손으로 구해본 적 있으신가요? 머릿속이 금방 복잡해집니다.
두 수일 때의 비밀
흥미로운 사실 하나.
두 수의 산술평균(AM)과 조화평균(HM)*을 곱하면 기하평균의 제곱이 됩니다.
예를 들어, 1과 4를 보겠습니다.
산술평균 = (1+4)/2 = 2.5
조화평균 = 2×1×4 / (1+4) = 1.6
둘을 곱하면 4가 나오고, 제곱근을 씌우면 2.
바로 1과 4의 기하평균입니다.
즉, 산술평균과 조화평균을 반복해서 계산하다 보면, 실제 기하평균에 수렴하게 됩니다.
네 수라면?
이번엔 1, 2, 2, 4 네 수의 기하평균을 구해봅시다.
먼저 두 수씩 묶습니다.
(1,4) → 기하평균 = 2
(2,2) → 기하평균 = 2
그다음, 이 두 결과(2와 2)의 기하평균을 구하면 역시 2가 됩니다.
실제로 계산하면, 정확히 들어맞지요.
거듭제곱근도 같은 원리
이 방법은 단순히 기하평균에서 끝나지 않습니다. 거듭제곱근도 같은 방식으로 접근할 수 있습니다.
예를 들어,
16의 네제곱근을 구한다고 해봅시다.
직접 계산하면 2이지만, 이를 "네 수의 곱"으로 분해하면 됩니다.
16=1×2×2×4
이 네 수의 기하평균을 위 방식대로 구하면 역시 2가 됩니다.
계산이 주는 통찰
물론, 오늘날 계산기 하나면 이런 계산은 단숨에 끝납니다.
하지만 흥미로운 건, 산술평균과 조화평균이라는 두 가지 다른 평균을 교차시키며 기하평균을 찾아가는 이 과정 자체입니다.
이 방법은 단순히 "숫자를 구한다"는 것 이상으로, 평균들 사이의 관계 반복 계산의 수렴 성질 그리고 수학적 구조의 아름다움을 보여주는 작은 창과 같습니다.
