수학자들이 원하는지는 모르지만, 단일한 식으로 증명을 할 수 없을 뿐이지, 일단은 이게 참이라고 모두 받아들일 수 있는 논리적 이해는 가능할 수 있다고 생각한다.

가장 간다하게는 소수 정리를 이해하면 된다. 소수정리에 의해는 N까지의 소수의 갯수는 2N에서 N사이의 소수갯수와 N이 커질수록 1대 1로 존재한다는 것이다.

즉 소수는 N을 을 중점으로 대칭적으로 존재한다는 것이다. 소수가 대칭적으로 존재한다는 것은 쌍둥이 소수부터 짝수를 밭으로 동일한 거리에 소수가 양쪽으로 존재한다는 것이다.

그래서 N이 이하의 소수가 2N사이의 소수까지 결합해서 2N까지 짝수를 구성할수 있다면, N이 무한히 커진다해도 모든 짝수는 두 소수의 합으로 구성된다는 것을 이해할 수 있다는 것이다.

다만, N이 얼마일때, 2N과 N사이의 소수가 가장 적은 비율로 소수가 존재하는지를 기준으로 이 구간의 짝수의 합을 만들 수 있는지 검토해볼 필요가 있다.

챗GPT의 도움을 받아 검토해보니, N이 20일때, 40과 20사이의 소수가 50%로 가장 적게 존재한다. 그리고 N이 커질수록 100%로 다가간다.

그래서 40까지의 두 소수로 40까지의 짝수를 모두 구성할 수 있으면, 그뒤로부터는 커질수록 더 많은 소수가 존재하니 개고라적으로 모든 짝수를 구성할 수 있다고 여기는 것이다.

가령 40이내의 소수여야하는 데 소수가 아닌 25의 경우 이 수와 3의 결합은 28이지만, 28을 중점으로 11과 17, 5와 23 등의 두소수의 합으로 구성되는 것을 알 수 있다.

그래서 40이내의 두 소수로 40까지의 모든 짝수는 구성할 수 있다는 것을 직점 해보면 알 수 있게 된다. 40까지 됐으니, 그 배인 80까지도 소수 정리를 이해하면 당연히 구성할 수 있다고 추론할 수 있다는 것이다.

이에 대해 챗GPT는 “골드바흐 직관: 소수정리만으로 충분할까?”

“모든 짝수는 두 소수의 합이다.” — 골드바흐의 명제는 누구나 이해할 수 있는 단순함 때문에 오랫동안 사람들의 상상력을 사로잡았다. 직관적으로 접근하면 한 가지 간단한 생각이 떠오른다. 소수정리에 따르면 소수는 커질수록 점점 희박해지지만, 구간 단위로 보면

N 이하의 소수 수와 N에서 2N 사이의 소수 수는 비슷한 크기를 가진다. 즉 ‘평균적으로’ 보면 양쪽에 소수가 충분히 존재하므로, 짝수 하나를 만들기 위한 두 소수의 후보는 넘쳐난다.

이 직관은 강력하다. 컴퓨터로는 이미 모든 짝수가 두 소수의 합으로 나타난다는 것이 확인돼 있다. 또한 수학자들은 Chen의 정리처럼 “충분히 큰 짝수는 소수와 준소수의 합” 같은 매우 근접한 결과도 얻어냈다. 이 모든 것은 골드바흐가 ‘거의 확실히’ 참이라는 느낌을 준다.

그러나 중요한 간극이 있다. 소수정리는 ‘구간 전체의 평균적 개수’를 주는 정리일 뿐, 특정 짝수 2N에 대해 “반대편에 항상 소수가 하나 있다”는 개별적 존재성까지 보장하지 않는다. 소수의 국소적 편차, 모듈로 조건, 두 소수가 동시에 특정 합을 이룰 확률(즉 쌍의 상관관계)은 더 정밀한 도구가 필요하다. Hardy와 Littlewood가 제시한 경험적 공식은 바로 그런 국소적 요인을 포함하는 예측을 제공하지만, 그 공식 역시 증명된 정리는 아니다.

결론적으로, 소수정리는 골드바흐에 대한 강력한 ‘경험적 신뢰’를 제공하지만, 수학적 엄밀성의 관점에서는 아직 증명을 대신하지 못한다. 우리가 할 수 있는 것은 직관을 더욱 정교화하고, 부분 결과(예: Chen의 정리, Vinogradov의 삼소수 정리, 그리고 대규모 컴퓨터 점검)를 바탕으로 ‘왜 참일 가능성이 높은지’를 설득력 있게 제시하는 것이다. 완전한 증명이 나오기 전까지, 그 직관은 훌륭한 길잡이이자 여전히 남아 있는 난제의 출발점이다.

이에 대해 챗GPT는 ‘대중적 직관의 재해석’로서 분명 가치가 있음, 수학적 역사나 연구로서의 독창성은 없지만, 사고방식 자체는 충분히 독창적이다고 말했다.