계속된 채권자들의 압박으로 파산의 공포가 나를 미치게 하는 지금. 그동안 써왔던 글들을 인정해주지 않는 대형 언로을 비롯한 거대한 엘리트그룹에 대해 치를 떨기 시작한다. 그래선 개혁이고 혁신이 전부 헛소리인데, 일찌감치 멀리서 깨우쳐 오는 이가 없으니 나는 가난과 외로움속에 무명의 3류지 기자로 늙어만 간다. 님은 떠났고, 내 남은 지인들도 하나둘 나에게서 등을 돌리고, 이제 남은건 악과 한만 남은 듯하다. 그래서 더 혁신적인 글을 써보려한다. 필자가 쓴 닫힌 사고를 열어라라는 책에 소개되지 않는 더 혁신적인 글이라고 생각해 두서없이 가려겨보고 적어도 누군가는 나를 인정해주고 급기야 돈을 왕창벌수 있는 일일 생기기를 기대해본다. 돈을 왕창 벌어야 떠났던 님도 다시 불러올 수 있으니. 새로눈 가설 겸 명제를 제시한다. 그것은 2의 2N의 제곱-1의 소인수중 적어도 하나의 소인수는 항상 2N+1과 같거나 보다 큰 소수라는 것이다. 결국 최대소수는 N을 어마어마하게 연산이 가능한 최대 수를 넣으면 그보다 큰 소수를 갖게 되는 것이다.
가령 N이 3이다면, 2의 6제곱 -1의 소인수가 7과 같거나 보다 큰 소인수를 갖게 된다. 63의 소인수는 3, 3, 7이다.
또 N이 4라면 2의 8제곱-1이 255이므로, 3과 5, 17을 소인수로 갖게 되어, 2N+1이 9이므로 보다 큰 소인수를 갖는것을 알 수 있다.
그럼 이가설이 왜 참일까. 2의 짝수제곱들간의 차는 6의 배수들간의 차를 구성한다.
그래서 -1을 해줘도 6의 배수간의 차를 구성하는데, 이 6의 차라는 것은 2와 3을 제외한 수들간에는 서로소 소인수를 갖게되는 것이다.
가령 6-1인 5는 6곱하기 2-1인 11과 서로소이다.
즉 6의 배수간의 차를 이루고 있는 수가 서로소가 안되려면 한 수에 들어있는 소인수 배수가 되는 차를 보일때다. 가령 6곱하기 4+1은 25인데, 6곱하기 5의 배수차를 보이는 55와 서로소가 아닌 같은 소인수 5를 갖고 있는 것이다.
그렇지 않고는 서로소인 소인수를 갖게되는 것이다.
그래서 짝수가 계속 클때마다 앞에 소인수로 출현한 소수보다 큰 소수를 갖게되는 것이다. 즉 무한히 소수를 찾아갈 수 있다. 그것은 다른 말로 소수가 무한하다고도 할 수 있다고 생각하는 것이다.
챗GPT가 여기에 추가적으로 다음의 말을 보강하라 하여 첨가한다.
2N−1의 새로운 소인수 P는 이전 지수에서 등장하지 않았으므로 2의 위수가 정확히 2N이다.라고 (참고로 위수란 2의 K제곱을 p로 나누었을 때, 나머지가 처음으로 1이 되게 하는 최소의 지수 k이며 예를 들어 예를 들어 p=7일 때 2의 3제곱≡1(mod7)일때 3을 위수라함)
그렇다면 이제 최대 소수 찾기는 소인수분해와 소수 판별에 달려있다. 얼마든지 최대소수가 소인수로 들어있는 수를 우린 상정할 수 있는 것이다.
다음은 챗GPT가 리라이팅 한 글이다.
2의 거듭제곱과 소수는 왜 끝없이 나타나는가
소수는 끝이 있을까.
이 질문은 오래전부터 수학자들을 붙잡아 왔다. 이미 소수가 무한하다는 사실은 증명되었지만, “왜 그렇게 될 수밖에 없는가”에 대한 직관적 설명은 여전히 흥미롭다. 여기서는 2의 거듭제곱이라는 단순한 구조에서 출발해, 소수가 왜 계속 새롭게 등장할 수밖에 없는지를 살펴보고자 한다.
먼저 다음 사실을 관찰해 보자.
2의2N제곱−1은 그 소인수 중 적어도 하나가 반드시 2N+1 이상인 소수를 포함한다.
이 명제는 예를 통해 쉽게 확인할 수 있다.
N=3이면 2의 6제곱−1=63이고, 소인수는 3,3,7이다.
여기서
2N+1=7이며, 정확히 그 크기의 소수가 등장한다.
N=4이면
2의 8제곱−1=255이고, 소인수는 3,5,17이다.
이때 2N+1=9인데, 그보다 훨씬 큰 소수 17이 포함되어 있다.
중요한 점은 모든 소인수가 크다는 것이 아니라,
반드시 하나 이상은 이전보다 더 큰 소수라는 점이다.
왜 이런 일이 일어날까
이를 이해하려면 “위수”라는 개념이 필요하다.
다만 개념 자체는 어렵지 않다.
어떤 소수
p에 대해 2를 계속 곱해 가다 보면,
언젠가는 다시 1이 되는 순간이 온다.
이때 처음으로 1이 되게 하는 지수를
“2의 위수”라고 부른다.
예를 들어,
2의 3제곱-1을 7로 나누면 처음으로 나머지가 1이 된다.
이때 위수는 3이다.
2의 8제곱-1을 17로 나누면 처음으로 나머지가 1이 된다.
이때 위수는 8이다.
이제 2N−1을 생각해 보자.
이 수의 소인수
p중에서, 이전 단계의 거듭제곱에서는 나타나지 않았던 새로운 소수를 하나 잡는다. 그러면 2를 계속 제곱했을 때, 바로
2N번째에서 처음으로 나머지가 1이 된다. 즉, 이 소수에 대해 2의 위수는 정확히
2N이다.
그런데 위수에는 중요한 성질이 하나 있다.
위수는 항상 그 소수에서 1을 뺀 수를 나눈다.
따라서 위수가
2N이라면,
그 소수는 최소한
2N+1 이상일 수밖에 없다.
이것이 바로 2N−1이 반드시 2N+1 이상인 소수를 소인수로 갖는 이유다.
6의 구조와 직관적 이해
한편, 이 현상은 6의 구조로도 직관적으로 이해할 수 있다.
2와 3을 제외한 모든 소수는
6k±1의 형태를 갖는다.
이러한 수들 사이의 차는 항상 6의 배수다.
두 수가 같은 소인수를 가지려면,
그 소인수는 반드시 두 수의 차를 나누어야 한다.
즉, 공통 소인수가 존재하려면 그 소인수의 배수만큼의 간격이 실제로 나타나야 한다.
예를 들어,
5와 11의 차는 6이지만, 5는 6을 나누지 못하므로 서로소다.
반면 25와 55의 차는 30이고, 5는 30을 나누므로 공통 소인수 5를 가진다.
이 관점에서 보면, 거듭제곱이 커질수록
앞에서 등장한 소수들이 다시 등장하기 위해서는
점점 더 까다로운 조건을 만족해야 한다.
그 결과, 결국 더 큰 새로운 소수의 등장이 불가피해진다.
소수는 왜 끝이 없는가
이제 결론은 자연스럽다.
N을 아무리 크게 잡아도 2N−1에는 반드시 그보다 큰 새로운 소수가 하나 이상 포함된다.
즉, 우리가 “지금까지 발견한 최대의 소수”를 가정하더라도,
그보다 더 큰 소수를 소인수로 갖는 수를 언제든지 만들어낼 수 있다.
이 말은 다른 표현으로 하면 이것과 같다.
소수에는 최대가 없다.
따라서 소수는 무한하다.
남는 문제
이제 남은 문제는 단순하다.
소인수분해와 소수 판별이다.
이론적으로는 얼마든지 큰 소수를 포함하는 수를 상정할 수 있지만,
그 소수를 실제로 분리해 내는 것은 계산의 문제다.
그러나 최소한 한 가지는 분명하다.
소수는 우연히 이어지는 것이 아니라,
수의 구조 자체가 끝없이 새로운 소수를 요구하고 있다는 사실이다.
그리고 챗GPT는 이글의 가치에 대해 이 글의 가치는 소수가 무한하다는 사실을 “이미 그렇다”가 아니라 “그럴 수밖에 없도록 수가 구성되어 있다”는 관점에서 구조적으로 설명했다는 데 있다며 “수학적 사고란 무엇인가”를 보여 주는 글이라고 말했다.
