님에 대한 분리불안증과 파산에 대한 공포감이 몸과 마음을 주저앉힌다. 이대로 무너져내리는가. 구원의 손길을 기다려보지만, 아무도 손을 내밀지 않고, 살기위해서 뻗는 내 손을 잡아주는 이 없다. 그래서 오늘도 파괴자가 되어보기로 했다. 나의 한과 설움을 모아, 우리의 평균 구하기는 모두 틀렸다고 주장한다. 600미터 운동장에서 나는 매일 구보를 했다. 처음 한바퀴를 돌때는 약 10분이 걸렸고, 추가로 두바퀴는 30분에 걸쳐 돌았다. 그럼 평균 분속은 얼마일까. 속도는 시간분에 거리이니, 600/10과 1200/30인 부속을 구하는 것인데, 산술평균이나 조화평균을 구해도 모두 틀린 것이다. 우리가 배우고 있는 평균 구하기 다 틀렸다는 것이다. 이때는 분모는 분모끼리 더해서 분모로 삼고 분자는 분자끼리 더해서 분자로 삼으면 아주 간단하게 속도를 구하는데 말이다. 즉 앞의 평균 분속은 1800/40이 정답이 될 수 있는 것이다.
이떄 산술평균 3000/60도 답이 될 수 없다. 10분당 500미터를 걸었다니 답이 되지 않는다. 조화평균도 그와같이 답이 되지 않는다.
우리의 평균은 산술평균만 상정해서 가르치고 배운다. 거기에 조금 더 나아가 기하평균과 조화평균을 구하는 것이다.
1인당 소득이 과대하게 측정되는 문제로, 최근에는 중위소득 개념이 도입되어, 많이 활용되어있다. 1등부터 쭉 한줄로 세웠을때, 가장 중간에 위친 한 사람의 소득을 반영하는 것이다.
이렇게 평균은 얼마나 제대로 반영되는지에 따라 다르게 계산되어야 한다.
그래서 우리가 산술평균에만 집중해서 교육을 받는 것이 이제는 바뀌어야 한다. 평균은 나의 주장은 분모는 분모끼리 더해 분모로 삼고 분자는 분자끼리 더해 분자로 삼는게 우너칙이다.
이 연사은 분모가 같을땐느 산술평균을 구하게 되고, 분자가 같을때는 조화평균을 구하게 되어, 더욱더 포괄적이고 기본적인 연산이된다.
가령 2와 3의 산술평균을 구한다면 분모가 각가 1이니까, 분모는 분모끼리 더해 2가 되고 분자는 분자끼리 더해 5가 됨으로 2분의 5라고 해야 한다.
조화ㅣ현균도 그렇다 2/3과 2/5의 조화평균(그냥 평균)을 구한다면 분모는 분모끼리 더해 8이되고, 분자는 4가 됨으로 8분의 4가 되고, 이는 조화평균값이 되는 것이다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
평균은 하나가 아니다 — 우리는 무엇을 평균이라 부르는가
600미터 운동장에서 매일 구보를 했다고 가정해보자.
첫 바퀴는 10분이 걸렸고, 추가로 두 바퀴는 30분에 걸쳐 돌았다.
그렇다면 이 운동의 평균 분속은 얼마일까.
정답은 단순하다.
전체 거리 1800미터를 전체 시간 40분으로 나눈 1800/40, 즉 분당 45미터다.
이 값만이 실제 운동 전체를 정확히 반영한다.
그런데 많은 사람들은 여기서 평균을 잘못 계산한다.
각 구간의 속도인 600/10과 1200/30을 구한 뒤, 이를 산술평균하거나 조화평균하려 든다.
그러나 그렇게 얻은 값들은 모두 현실과 맞지 않는다.
산술평균은 “10분당 500미터를 이동했다”는, 실제로 존재하지 않는 운동을 만들어내고 만다.
왜 이런 오류가 발생할까.
이유는 간단하다. 속도는 비율이기 때문이다.
비율의 평균은 숫자들의 평균이 아니라, 총량의 비율로 계산해야 한다.
평균의 원칙은 공식이 아니라 구조다
우리는 평균을 배울 때, 산술평균을 가장 먼저 배운다.
그리고 나중에 기하평균, 조화평균을 “다른 평균”으로 추가로 배운다.
하지만 정작 중요한 질문은 거의 다루지 않는다.
“이 평균은 무엇을 동일하게 두고 계산한 것인가?”
속도처럼 분모가 ‘시간’인 비율을 평균낼 때는
시간 전체를 기준으로 삼아야 한다.
따라서 원칙은 다음과 같이 매우 단순해진다.
분자는 분자끼리 더한다
분모는 분모끼리 더한다
그 비율을 취한다
이 방식은 가장 기본적이면서도 가장 포괄적인 평균의 정의다.
산술평균과 조화평균은 특수한 경우일 뿐이다
이 원칙을 적용하면, 우리가 알고 있던 평균들의 정체도 명확해진다.
산술평균은 분모가 모두 같을 때 나타나는 특수한 경우다
예를 들어 2와 3은 각각 2/1, 3/1이므로
(2+3)/(1+1) = 5/2가 된다.
조화평균은 분자가 같을 때 나타나는 경우다
예를 들어 2/3과 2/5의 평균은
(2+2)/(3+5) = 4/8이 되고, 이는 조화평균과 정확히 일치한다.
즉, 산술평균과 조화평균은 서로 대립하는 개념이 아니라
하나의 더 일반적인 평균 원칙에서 파생된 결과다.
평균이 현실을 왜곡할 때
최근 정책과 통계에서 중위소득이 강조되는 이유도 여기에 있다.
산술평균 소득은 극단적인 고소득자에 의해 쉽게 왜곡된다.
그래서 “가장 가운데 있는 사람”의 소득을 대표값으로 삼는 중위소득이 등장했다.
이 역시 평균의 문제가 아니라,
무엇을 대표값으로 삼을 것인가에 대한 선택의 문제다.
평균은 언제나 중립적인 숫자가 아니다.
잘못 쓰인 평균은 현실을 설명하지 못할 뿐 아니라, 오히려 현실을 가린다.
평균 교육은 바뀌어야 한다
우리는 여전히 평균을 “산술평균 공식”으로 먼저 가르친다.
그러다 보니 속도, 생산성, 효율, 소득 같은 실제 문제에서
계산은 맞지만 의미는 틀린 평균이 반복해서 등장한다.
이제는 평균을 공식이 아니라 구조와 맥락의 문제로 가르쳐야 한다.
비율의 평균은 언제나
총량 ÷ 총기준량이라는 사실을 먼저 이해해야 한다.
평균은 하나가 아니다.
그리고 평균은 결코 단순한 숫자가 아니다.
또 이글에 대해 챗GPT는 평균을 계산하는 법을 가르치는 글이 아니라, 평균을 의심하는 법을 가르치는 글이다고 평했다.
