내일이 오는게 싫다. 아침이 밝아오는게 싫어본적은 살다가 처음이다. 시한부 인생처럼, 하루하루가 파산일에 가까워지는게 싫은 것이다. 그러나 시계는 내 마음도 모르고 자꾸만 흘러간다. 님에 대한 분리불안증과 파산의 공포감이 날 뒤흔들지만, 그래도 써보련다. 포털을 검색해보니 거듭제곱근 구하는 방법이 쉽게 설명되어 있지 않았다. 그래서 본인이 제안한 방법을 다시한번 소개하고자 한다. 제가 쓴 닫힌 사고를 열어라라는 소책자에도 소개되었다.
일단 알아야 할게, N거듭제곱근은 N개의 기하평균과 같다는 것이다. 거듭제곱근을 구하는 법을 익힌다면, 기하평균 구하기도 동시에 익히는 것이기도 한다.
먼저 2제곱근을 구하는 법을 설명한다. 간단히 말해서 기하평균은 산술평균 곱하기 조화평균의 제곱근과 같다는 것만 알면 된다.
그래서 루트 2를 구한다면, 2제곱근이니까, 임의의 2개수의 곱이 2가되는 수를 정한다. 되도록 두수의 차가 적으면 더 좋다.
어쨌든 1과 2의 곱이 2가 되니, 1과 2의 산술평균과 조화평균을 구하면 된다.
산술평균은 1.5이고, 조화평균은 2나누기 1.5이니 1.3333(조화평균을 쉽게 구하는 법은 다른 기사에서 썼다)이다. 그럼 1.5와 1.333의 사이에 기하평균이 있고, 제곱근의 근사유리수값이 있다는 것을 알 수 있다.
그럼에도 더 쉽게 이번에는 1.5와 1.333의 산술평균과 조화평균을 구한다. 산술평균은 1.416이 되고 조화평균은 1.412정도가 된다. 그럼 또 1.416과 1.412의 산술평균을 구하고 다시 2를 이 평균값으로 나눠 조화평균을 구한다. 결국 계속 해나가면 1.414를 구할 수 있다.
그럼 세수 이상에서도 가능할까? 가능하다. 다만 세수 이상에서는 두수씩 기하평균을을 구해나가는 방법을 취해야 한다.
4의 세제곱은 을 구한다면, 먼저 곱해서 4가 되는 임의 세수를 구한다. 2와 2와 1을 채택하자. 그러면 산술평균을 구하면 5/3이 되고, 조화평균은 3/2가 된다. 그러면 새로운 세수는 5/3과 3/2와 1.6이 된다. 그럼 세수 1.666과 1.5, 1.6의 기하평균값이 4의 세제곱근이라는 것을 알 수 있다.
그런데, 정확한 값을 구하고자 하면 이중 차가 큰 두수의 기하평균만 먼저 구하면 된다. 즉 1.5와 1.6의 기하평균을 구하고, 다시 또 1.666과 두수중 한수의 기하평균을 구해나가면 되는 것이다.
아니 2와 2와 1일때분터 2와 1의 기하평균을 구하고 기하평균이 1.414이니까, 새로운 세수는 2와 1.414, 1.414가 된다. 그러면 이중 1.414와 다른 2의 기하평균을 구하고, 이 기하편균 가지고, 다시 1.414의 기하평균을 구해나가도 된다. 순환하며 구해나갈 수 있다.
이를 챗GP가 리라이팅 해준 글은 다음과 같다.
거듭제곱근을 구하는 새로운 접근법
포털 검색을 해보면 거듭제곱근을 구하는 방법이 직관적으로 잘 설명된 자료를 찾기 어렵다. 그래서 여기서는 기하평균을 이용한 거듭제곱근 계산 방법을 다시 한 번 정리하여 소개하고자 한다.
기본 개념: 거듭제곱근과 기하평균
먼저 알아야 할 중요한 사실은 다음과 같다.
N제곱근은 N개의 수의 기하평균과 같다.
따라서 거듭제곱근을 구하는 방법을 익힌다는 것은, 동시에 기하평균을 구하는 방법을 익히는 것이기도 하다.
√2 구하기 (2제곱근)
기하평균은 다음과 같은 성질을 가진다.
기하평균은 산술평균과 조화평균 사이에 존재한다.
이를 이용해 √2를 구해보자.
곱이 2가 되는 임의의 두 수를 고른다.
예: 1과 2 (차이가 작을수록 수렴이 빠르다)
산술평균: 1.5
조화평균: 1.333
따라서 √2는 1.3333과 1.5 사이에 존재한다.
이제 이 두 값에 대해 다시 산술평균과 조화평균을 구한다.
산술평균 1.416
조화평균 1.412
이 과정을 반복하면 값은 점점 수렴하며, 결국
1.414에 도달하게 된다.
세 수 이상의 경우도 가능한가?
가능하다. 다만 두 수씩 기하평균을 반복적으로 구하는 방식을 사용해야 한다.
예: 4의 세제곱근 (∛4)
곱이 4가 되는 세 수를 임의로 선택
예: 2, 2, 1
산술평균:
5/3≈1.666
조화평균:
3/2=1.5
새로운 세 수를 구성
1.666, 1.5, 1.6
(이 세 수의 기하평균이 ∛4)
계산을 단순화하는 방법
보다 정확한 값을 얻고 싶다면, 차이가 큰 두 수부터 기하평균을 구하는 방식이 효율적이다.
처음부터 2, 2, 1에서
2와 1의 기하평균 = √2 ≈ 1.414
새로운 세 수: 2, 1.414, 1.414
다시 2와 1.414의 기하평균을 구하고,
이 과정을 순환적으로 반복하면 점점 정확한 세제곱근 값에 수렴한다.
마무리
이 방법은 복잡한 공식 없이도 평균의 성질만으로 거듭제곱근을 근사적으로 구할 수 있는 직관적인 접근법이다. 특히 기하평균, 산술평균, 조화평균의 관계를 이해하는 데에도 큰 도움이 된다.
길고 챗GPT는 이 글에 대해 공식을 외우지 않아도 수학은 이해할 수 있다는 글로 독창적이다고 말했다.
