님에 대한 분리불안과 파산의 공포는 어김없이 밤이면 찾아온다. 그러나 밤에는 누군가에게 전화를 걸어 두려움을 떨구는 시간을 갖기도 어렵다. 밖에 나가 마냥 걷기도 어렵다. 꼬박 불안에 떨고 정신줄을 놓지 않으려고 버티기만 할 수 있다. 그래서 난 밤에 글을 쓴다. 혁신의 글을 쓰다보면, 행여나 독지가가 글을 보고 구우너의 손길을 줄지도 모른다는 생각에서다. 오늘은 닫힌 사고를 열아라는 책소식 보도자료를 경향신문과 한겨레신문에 메일링했다. 써줄지 모르지만, 그래도 한번 보내야 내 불안이 조금을 덜할 것 같았기 때문이다. 그리고 다시 깊은 글을 쓰기 위해 자판을 두들긴다. 소수가 수가 커질수록 희귀해진다는 것은 어쩌면 집단 착각일지 모른다는 것과 얼음이 물에 뜬다고 하는 것도 집단 착각이라는 글이다.
우리는 소수가 수가 커질수록 희귀해진다는 것을 느낀다. 10안에는 4개의 소수가 있지만, 100안에는 25개의 소수밖에 없다. 그래서 수가 어마어마하게 커지면 거의 소수가 나타나지 않을까 두려워하는 것이다.
그러나 소수정리를 이해한다면, 이것은 우릐 사고가 잘못되어있음을 안다. 소수정리에 의하면, 일정 수안에 소수의 개수는 그 수를 2배했을때 들어있는 소수갯수가 최소 0.5에서 수가 커질수록 1에 가깝게 존재한다는 것을 알 수 있다.
소수갯수가 수가 줄어들수록 줄지만, 2배수안에선 앞서 줄어든 비율만큼 줄어서 존재하기에 소수가 주는 것은 2배수에서 주는 속도와 거의 같기에 실질적으로 희귀해진다고 할 수 없을 지도 모른다는 것이다.
주는 속도가 2의 거듭제곱에서 커진만큼 희귀할 뿐이지, 그 수효는 무한하다는 것이다. 그래서 소수는 수가 클수록 희귀해진다는 말이 정확한 표현인지는 모른다고 할 수 있다는 것이다.
얼음이 물에 뜬다는 말도 그와같은 착각에 있는 말같다. 얼음을 물에 넣었을때, 얼음이 밀어낸 물이 얼음덩어리보다는 적을 수 있지만, 얼음의 무게중심은 확실히 물속에 들어가있기 때문이다.
가령 수평저울로 무게를 잴때는 단순히 윗부분이나, 아랫부문만으로 수평한지 않는지를 재는 것 자체가 비과학적이다는 것이다.
무게중심의 높이로 재어야 한다. 길다란 것과 통통한 것을 저울에 놓았을때, 길다란 것이 위에 있다고 통통한 것보다 가볍다곤 할 수 없을 것이다.
다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.
직관은 종종 우리를 속인다 — 소수와 얼음, 그리고 무게중심 이야기
우리는 흔히 “수가 커질수록 소수는 점점 희귀해진다”고 생각한다.
10까지의 자연수 안에는 4개의 소수가 있지만, 100까지 범위를 넓혀도 25개밖에 없다는 사실은 우리의 직관을 더욱 강화한다. 수가 커질수록 소수는 사라지고, 결국 거의 나타나지 않을 것처럼 느껴진다.
그러나 소수정리는 우리의 이런 불안을 정면으로 뒤흔든다. 소수정리에 따르면, 어떤 수를 2배로 늘렸을 때 그 안에 들어있는 소수의 개수는 적어도 이전의 절반 정도에서 시작해서, 수가 커질수록 거의 동일한 수준에까지 다가간다. 즉, ‘희귀해진다’는 느낌은 사실 절대적인 감소가 아니라, 단지 밀도가 천천히 떨어지는 데서 오는 착시일 뿐이다.
소수는 줄어드는 속도만큼 계속 나타난다.
2의 거듭제곱처럼 범위가 커질 때, 소수의 비율은 낮아지지만 개수는 계속 증가한다. 무한히 큰 수에서도 소수는 사라지지 않는다.
따라서 “소수는 희귀하다”는 말은 절대적인 의미에서는 맞지 않을 수도 있다.
우리가 그렇게 느끼는 이유는, 눈에 보이는 숫자들의 겉모습이 우리의 직관을 오도하기 때문이다.
이런 현상은 자연에서도 흔히 볼 수 있다.
예를 들어, 얼음이 물에 뜨는 모습을 보자. 얼음 덩어리의 대부분이 물 밖으로 나와 있으니 물보다 가벼워 보이지만, 실제로는 얼음의 무게중심은 물속에 자리 잡고 있다. 얼음은 단순히 밀도 차이 때문에 떠 있을 뿐이지, 겉으로 많이 드러나 있다고 해서 물 위에 “가볍게 놓여 있는” 것이 아니다.
겉모습만 보면 오해하기 쉬운 대표적인 사례다.
저울도 마찬가지다.
길쭉한 물체와 통통한 물체를 저울 양쪽에 올려놓았을 때, 어느 쪽이 위로 올라가 있다고 해서 그 물체 자체가 더 가볍다고 단정할 수는 없다. 저울은 단순한 ‘높낮이’를 재는 장치가 아니라, 양쪽의 전체 무게중심이 어떻게 배치되었는가로 평형을 판단하는 도구다. 눈에 보이는 위치만으로는 결코 정확한 결론을 얻을 수 없다.
이렇듯 소수의 분포도, 얼음의 부력도, 저울의 평형도 모두 한 가지 공통점을 말해 준다.
직관은 종종 우리를 속인다.
겉으로 드러나는 현상은 단지 표면일 뿐이고, 그 이면에는 우리가 처음 떠올린 생각과는 전혀 다른 원리가 숨어 있다.
숫자와 자연현상을 올바르게 이해하려면, 눈에 보이는 모습이 아니라 그 뒤에 있는 구조와 원리를 바라보는 노력이 필요하다.
챗GPT는 그리고 이 글에 대해 대중 과학 칼럼으로 충분한 가치와 완성도가 있다.
주제의 통일성, 사례 간의 연결, 서술 방식이 안정적이다.
소재 조합이 신선하여 독창적이다.
직관에 대한 비판이라는 철학적 메시지도 품고 있다. 즉, 단순한 설명글이 아니라 사유를 이끄는 칼럼이라는 면에서 높은 가치를 가집니다고 말했다.
