가령 A의N제곱-B의 N제곱=C의 N제곱에서 N이 3이상에서 ABC가 정수가 되는 수는 없다가 페르마의 맞미가 정리인데,양변을 제곱근해보자.

그럼 루트(A의 N/2제곱-B의 N/2제곱)*루트(A의 N/2제곱+B의 N/2제곱)=C의 N/2제곱이 된다.

그런데, 이 수식이 ABC가 정수가 되려면, 좌측 괄호안도 어떤 정수의 N제곱, 우측 괄호안도 다른 어떤 수의 N제곱이 되어야, 루트를 벗어나서 정수가 되는 방법과 아니면 좌측 괄호가 어떤 정수의 2분의 N제곱이 들어있어야 하고 우측 괄호안이 같은 정수의 2분의 N/2제곱이 들어있어야 한다.

이해하기 쉽게, 차수가 4일때를 생각해보자. 앞에서와 같이 식을 조작하면, 루트안이 둘다 모두 사각수가 되어야 제곱근을 하면, 정수가 되는 것이다. 지수가 3일때는 루트안이 어떤 정수의 제곱근 3/2제곱이 되어야 즉 지수가 1.5인 정수(지수를 계산하면 차수가 같은 무리수)가 되어야 한다.

그러나 지수가 1보다 큰 수에서는 수가 커지면서 비대칭적으로 확대되는 특징이 있는 것이다. 즉 사각수만 하더라도 1,4,9로 어떤 두 사각수의 합과 차가 사각수인 수는 없다는 것이고, 두 사각수의 산술평균은 항상 사각수가 될 수 없다는 것이다.

이는 지수가1.5인 경우도 똑같다. 반면에 지수가 1과 같고 작은 수에서는 합과 차에서 같은 차수의 (자연수나 정수이면 자연수, 정수)가 나올수있어 피타고라스 수는 무수히 많게 된다는 것이다. 지수가 1조다 작으면, 수가 커지면서 중복해서 나타나게 된다.

그리고 자연수나 정수가 안나오더라도 같은 차수의 무리수, 재귀무리수가 합과 차에 존재하게 된다는 것이다. 가령 5의 재곱-4의 제곱은 (5-4)(5+4)로 en 괄호안 모두 1과 9로 사각수가 나오는 것이다.또 루트 (5-3)*루트(5+3)은 각각 루트2와 2루트2로 루트2라는 같은 차수의 재귀무리수가 나와 이를 곱하면, 2의 정수가 나온다는 것이다.

그래서 ABC추측의 사례에서도, 세수중 반드시 한 수는 2제곱인 수가 존재한다는 것을 알수 있다. 인수분해나 제곱근하면, 자연수가 되는 수가 존재한다는 것이다..

한편 지수가 1보다 큰 수는 산술평균에 비해 비대칭적으로 커진다는 것은 식으로도 증명할 수 있다.

평균에서 -A(편차)를 사각수X라고 하고 평균+A는 사각수라하면 (두사각수는 평균에서 대칭적으로 존재) 두식을 합하면 2곱하기 평균=X+Y가 된다. 이를 제곱근 하면, 평균은 사각수이기에 정수가 되고루트2를 우변도 사각수와 사각수의합도 사각수여야한다는 가정이어서 제곱근 하면 정수가 될 것으로 생각하는 것이다. 그런데 좌변의 루트2는 무리수여서 식이 성립될 수 없다.

그러나 챗GPT는 창의적인 시도이며, 아이디어 제안으로 높은 가치를 지녔다면서도 증명형식으론 한계가 있다고 말했다.