그러나 수가 1로만 된 레푸닛수를 만들면 그 자릿수가 순환마디길이라는 것을 알 수 있다.

그럼 레푸닛수를 어떻게 만들까. 가령 어떤 수의 순환마디길이를 구하려한다면, 어떤 수라도 그 수에 곱해 1의 자리가 1이 되게 하는 수를 곱해주고, 다음으로 10의자리도 1이 되는 수를 곱해주고 하는 식으로 연산의 순서를 가지면 된다.

가령 7의 순환마디길이를 구한다면 1의 자리가 1이되는 수는 3을 곱해주면, 21이 되고, 다음 십의 자리가 1이되려면 곱해서 9가 되어야, 앞의 20의 2와 더해져 1이 되니까 7을 곱해서 21에 490을 더해주어 511이 되어 10의 자리까지 1이 된다. 그리고 500에 100이 되게 하려면 6이되는 수가 필요하니 8을 곱해주어 5600을 더해준다.

그럼 6111이 되고, 다시 6000이 1000이 되게 하려면 5000을 곱해주어 41111이 되도록 하다. 다음 70000이 되는 수가 필요하니 10000을 곱해주면 111,111이 되고 레푸닛수가 된다.

그렇게 해서 순환마디길이는 6자리가 된다.

레푸닛수는 같은 순환디길이인 수들의 곱으로 이뤄졌다.

그래서 레푸닛수가 소수인 경우는 자기 자신의 수가 아니면 그 수의 순환마디길이를 가지는 수가 없다는 것을 의미한다. 가령 11은 소인수가 11이 아닌 수를 제외하곤 어떤 수도 2의 순환마디길이를 가질 수 없다는 것이다.

다음은 챗GPT가 리라이팅한 글이다.

레푸닛수와 순환마디길이의 비밀

분수를 소수로 바꾸면 일정한 패턴이 반복되는 경우가 있다.

예를 들어

1/7=0.142857142857...처럼 ‘142857’이 계속 반복된다.

이때 반복되는 자리수의 길이를 순환마디길이라고 한다.

7의 경우엔 6자리다.

그렇다면 이 순환마디길이는 어떻게 구할 수 있을까?

수학적으로는 “10의 거듭제곱을 나누어 나머지가 처음으로 1이 되는 지점”이라고 정의한다.

하지만 이 설명만으로는 좀 추상적이다.

조금 더 손에 잡히는 방식으로 생각해보자.

1. 1로만 된 수, 레푸닛

우리가 흔히 보는 11, 111, 1111 같은 수들은 모두 ‘1’만으로 이루어져 있다.

이런 수를 **레푸닛(Repunit)**이라 부른다.

영어의 repeated unit, 즉 “반복된 1”이라는 뜻이다.

흥미로운 점은, 레푸닛의 자릿수가 바로 순환마디길이와 연결된다는 것이다.

어떤 수의 순환마디길이를 알고 싶다면,

‘그 수로 나누어 떨어지는 가장 짧은 레푸닛’을 찾으면 된다.

그 레푸닛의 자릿수가 곧 순환마디길이가 된다.

2. 7의 예: 손으로 만드는 과정

7의 순환마디길이를 손으로 직접 만들어보자.

먼저 ‘1’의 자리가 1이 되도록 7에 곱해보면

7×3=21이 된다.

이제 십의 자리까지 1이 되게 하려면 21에 어떤 수를 곱해 더해야 할까?

이런 식으로 계속 맞춰 나가면 결국

111111, 즉 여섯 자리의 1로 이루어진 수가 만들어진다.

그 결과,

111111은 7로 나누어떨어지고,

따라서 7의 순환마디길이는 6자리임을 알 수 있다.

우리가 소수로 보았던 ‘142857’이라는 반복이 6자리인 이유가 바로 여기에 있다.

3. 레푸닛과 소수의 관계

레푸닛은 또 다른 흥미로운 성질을 갖는다.

예를 들어

111111은 7×15873으로 나누어지고,

그 밖에도

111은 3×37로 나누어진다.

이처럼 어떤 수가 레푸닛을 나눈다면, 그 수의 순환마디길이는 그 레푸닛의 자릿수의 약수가 된다.

그리고 만약 어떤 레푸닛이 소수라면, 그 자릿수 자체가 반드시 소수다.

(왜냐하면 레푸닛은 자리수를 곱으로 분해할 수 있기 때문이다.)

즉, 소수 레푸닛은 “그 길이의 순환을 가지는 유일한 수”다.

예컨대 11은 두 자리 레푸닛이자 소수이므로,

다른 어떤 수로도 ‘2자리 순환’을 만들 수 없다.

4. 순환과 수의 리듬

이렇게 보면, 순환마디길이는 단순한 계산법을 넘어

수마다 고유한 ‘리듬’을 나타낸다고도 볼 수 있다.

10을 거듭제곱할 때 일정 주기마다 처음 상태로 돌아오듯,

수마다 다른 길이의 고유한 리듬을 가지고 있는 셈이다.

레푸닛은 그 리듬이 완전히 맞아떨어지는 순간을 기록한 숫자다.

그래서 레푸닛의 자릿수는,

어떤 수가 10이라는 ‘음계’ 위에서 언제 처음 조화를 이루는지를 보여주는

아름다운 표시이기도 하다.

맺음말

‘1’이라는 단순한 숫자의 반복 속에서도

소수의 성질과 순환의 질서는 놀라울 만큼 정교하게 숨어 있다.

레푸닛은 단순한 장난 같은 숫자가 아니라,

수의 본질적 반복성과 주기성을 드러내는 하나의 상징이다.

10의 거듭제곱이 언제 다시 1로 돌아오는가,

그 리듬을 찾아가는 과정이 바로 순환마디길이를 구하는 일이다.

그리고 그 리듬이 정확히 맞아떨어지는 순간,

우리는 ‘모두 1’로 된, 하나의 완전한 수 — 레푸닛을 만나게 된다.

이에 대해 챗GPT는 “숫자의 반복 속에서 수의 본질을 발견한 철학적 수학 칼럼.” 신문이나 교양잡지(예: 《수학동아》, 《과학소년》, 《수학문화》, 《한겨레 사이언스온》 등)에 실어도 손색이 없을 수준입니다고 말했다.