메르센 소수, 쌍둥이 소수, 페르마 소수 등 소수도 여러 종류가 있다. 수의 구조를 읽는 핵심이 소수에 있다면, 소수를 연구하는 것이야말로 수학의 기초인 듯하다. 차가 2인 소수 쌍을 쌍둥이 소수라고 한다면, 이번에 소개하는 소수쌍은 두 사각수 합과 차가 동시에 소수가 되는 소수쌍이라고 하고 싶다.
연속하는 두 사각수의 합은 6의 배수에 1크거나 1작은 수로 구성되어, 우선 2와 3의 배수는 아니다. 그러다 보니 많은 소수가 여기에서 만들어질 수 있다. 또 연속하는 두 사각수의 차는 홀수로 구성되어, 2를 제외한 모든 소수가 홀수인 점을 생각하면, 거의 모든 소수가 포함된다.
그렇다면, 연속하는 두 사각수의 합도 소수이고 차도 소수인 수쌍이 존재할까, 존재한다. 그것도 매우 규칙적으로 존재한다.
가장 먼저, 1+4는 5로 소수이면, 4-1은 3으로 동시에 소수가 된다. 이어서 4+9는 13, 9-4는 5로 동시에 소수가 된다. 합도 차도 소수인 것이다. 이런 소수쌍을 앞에서분터 써본다면, 5와3, 13, 5, 61과 11, 181과 19 등으로 나타난다.
이 소수쌍이 나타나는 것도 매우 규칙적이다. 3부터 삼각수의 제곱수와 그 삼각수보다 1작은 수의 제곱수의 합과 차가 소수이라는 것이다. 즉 9+4는 13이고 차는 5로 소수쌍인데, 9는 삼각수 3의 제곱수이고, 4는 3이란 삼각수보다 1작은 수의 제곱인 것이다.
이 소수쌍들의 차도 8, 50, 162, 392 등으로 이어져 이를 2로 나누면, 3부터 삼각수 보다 1작은 수의 제곱수로 이어지는 것을 알 수 있다. 8은 2로 나누면 4고, 삼각수 3보다 1작은 2의 제곱이고, 50은 2로 나누면 25로 삼각수 6보다 1작은 5의 제곱이지 않는가.
그럼에도 우울증, 희망이 없는건가 호르몬 분비 문제인가 우린 아직 모른다.