사면체수이면서 사각수는 3개밖에 없는 이유는 1을 제외하고, 삼각수와 사각수가 3대4의 비를 가진 수가 3과 4, 300과 400인 수밖에 없기 때문이다.
사면체수를 구하는 식을 쓰는 것도 흔히들 n(n+1)(n+2)/6으로 알고 있지만, 2이상의 세제곱수는 6*사면체수-밑수로 구성되어있다는 것을 알면 (n의 세제곱-n)/6이 사면체수가 된다는 것을 알 수 있다. (단 n은 2 이상에서다)
그렇다면 이 식이 어떤 M제곱과 같으면, 사면체수이며 사가수가 된다는 것을 알 수 있다.
즉 n(n^-1)/6=M^을 풀면 n이 2일때, m은 1고 n이 3일때 m은 2가 되고, n이49일때, M^=19600이 되기에 이 수는 모두 사각수이면 사면체수이다.
그런데, 윗식을 연분수 풀이로 보면, n^=1+6M^/n이 되고, 우변이 제곱수가 되기 위해서는(홀수이기때문에) 8*삼각수+1의 꼴이 되어야한다. 홀수 사각수는 8*삼각수에+1을 해준 수이기 때문이다.
그렇다면, 6M^/n=8*삼각수가 되어야 하고, 양변을 2로 나누면, 3*사각수(M^/n)과 4*(삼각수)이고 역으로 삼각수와 사각수가 3대 4의 비로 조내하는 수일때만, 이 식이 성립할 수 있다. 즉, 3과4, 300과 400일때만, 삼각수와 사각수가 3대4라는 비가 형성되기에 이때의 사면체수 4, 19600이기도 한다. 요기에 1을 포함하면 된다.
참고로 삼각수와 사각수의 비가 3대 4인 수는 2개밖에 없는 근이 2개인 2차방정식과 같다. 300과 400이후는 비가 계속 커져가고, 3과 4이하는 비가 자꾸 작아진다. 식을 만들면 축에 가까운 삼각수와 사각수도 찾을 수 있을 것으로 생각된다.